Интегрирование интегралов по параметру

Теорема. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике и . Тогда

(1)

Доказательство: Докажем более общее равенство:

(2)

Рассмотрим левую часть равенства (2). В силу непрерывности функции функция также непрерывна на отрезке . Таким образом, в левой части равенства (2) мы имеем интеграл от непрерывной функции с переменным верхним пределом. Применим к нему теорему Барроу

. (3)

Рассмотрим теперь правую часть равенства (2). Введем обозначение

(4)

Данная функция определена в прямоугольнике . Докажем что она и непрерывна в этом прямоугольнике. Выберем произвольную точку дадим приращение обеим переменным, так чтобы точка . Получаем

(5)

Пусть . Если , то и одновременно. Возьмем произвольное и воспользуемся непрерывностью функции в прямоугольнике , тогда для выбранного найдется , такое что, как только будет выполняться неравенство:

.

Тогда если будет выполняться неравенство:

.

Это означает, что

Функция непрерывна в прямоугольнике (замкнутом множестве), то она на нем ограничена, следовательно, существует такое положительное число М, что

в прямоугольнике . Тогда

.

Это означает, что . Тогда из соотношения (5), получаем, что

,

что означает непрерывность функции в произвольной точке , следовательно, функция непрерывна в прямоугольнике . Из соотношения (4) по теореме Барроу следует

. (6)

По условию теоремы функция непрерывна в прямоугольнике , следовательно, и непрерывна в этом прямоугольнике. С учетом равенства (4), запишем правую часть равенства (2) в виде

. (7)

В правой части равенства (7) переменная выступает в качестве параметра. Ранее мы показали, что функция непрерывна в прямоугольнике и имеет в нем непрерывную частную производную . По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла получаем

. (8)

Из анализа соотношений (3) и (8) приходим к выводу о том, что левая и правая части равенства (2) имеют на отрезке совпадающие производные, следовательно, они отличаются на константу.

. (9)

В последнем равенстве положим , получим , тогда и получаем равенство

. (10)

Наконец, положив , получаем требуемое равенство

Теорема доказана.