Пределы интегрирования, зависящие от параметра

Пусть функция определена в плоской области (S), ограниченной линиями y=c, y=d (c<d) и , где - функции, непрерывные на отрезке .

При каждом фиксированном существует . Каждому значению будет соответствовать определенное значение интеграла. Следовательно, является функцией переменной (параметра) , определенной на отрезке . Введем обозначения:

(1)

Примем без доказательства два утверждения.

Теорема 1. Пусть функция непрерывна в плоской области (S) и . Тогда функция непрерывна на отрезке .

Теорема 2.Пусть функция непрерывна в плоской области (S) и имеет на ней непрерывную частную производную . Пусть функции определены на отрезке и имеют на нем непрерывные производные . Пусть . Тогда для любого существует , причем

ПримерДан интеграл . Найти .

Подынтегральная функция непрерывна на всей плоскости Оху, следовательно, будет непрерывна в любом прямоугольнике , где . По теореме из §2 возможен предельный переход по параметру под знаком интеграла

.