Дифференцирование интегралов по параметру

Теорема. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике и имеет в нем непрерывную частную производную . Пусть .

Тогда:

1. функция имеет на отрезке производную ;
2. т.е. ;
3. непрерывна на отрезке .

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку . Дадим приращение таким образом, чтобы . Вычислим значение функции и :

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

(1)

Согласно теореме Лагранжа

,

где . Тогда

. (2)

По условию теоремы частная производная непрерывна. Перейдем в соотношении (2) к пределу при . Учитывая теорему о предельном переходе под знаком интеграла, получаем

Следовательно, существует и . В силу произвольности , делаем вывод о том, что существует на всем отрезке , кроме того,

. (3)

По условию теоремы непрерывна, тогда из соотношения (3) и теоремы о непрерывности интеграла как функции параметра следует непрерывность на отрезке .