Определение интегралов, зависящих от параметра

Пусть функция определена в прямоугольнике . Пусть при каждом фиксированном существует . Очевидно, что для каждого значения будет существовать свое значение интеграла. Таким образом мы получаем функцию переменной (параметра) , определенную на отрезке . Обозначим:

(1)

Поставим следующую задачу: исходя из свойств функции , получить сведения о функции .

Предположим также, что при каждом фиксированном существует . Данный интеграл будет представлять собой функцию переменной (параметра) . Введем обозначение

(2)

§2. Предельный переход под знаком интеграла

Теорема. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике и . Тогда

(1)

Доказательство. Существование интеграла для каждого значения следует из непрерывности подынтегральной функции.

Выберем произвольное и зафиксируем . Функция непрерывна на замкнутом прямоугольнике, следовательно, по теореме Кантора она является равномерно непрерывной. Тогда существует такое число , зависящее только от , такое, что для любых двух точек и из прямоугольника , для которых и будет выполняться неравенство:

. (2)

Положим , , где для произвольного выполняется неравенство . Значения первой переменной выберем равными, т.е. , где . Заметим что, . Тогда неравенство (2) примет вид