Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

Определение:Функции, для которых существует называют абсолютно интегрируемыми.

Пусть f(x) кусочно-непрерывная и абсолютно интегрируемая функция. На любом отрезке [-l;l]функция f(x) представима рядом Фурье.

Запишем ряд Фурье для f(x:

, ,

.

Введем обозначения , получим

Тогда

,

учитывая, что , получаем

Последнее соотношение можно рассматривать как интегральную сумму для функции

где можно выбрать сколь угодно большим .

(1)

это интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразуем его к следующему виду:

Получим соотношения:

(2)

Это – преобразования Фурье F(u) прямое преобразование Фурье f(x) обратное преобразование Фурье.

Но, согласно формуле Эйлера, , то есть

.

Подставим в интеграл Фурье:

. (3)

Соотношение (3) - это интеграл Фурье в вещественной форме. С учётом того, что

Преобразования Фурье принимают вид:

(4)

Если f(x) нечётная, то

следовательно,

Или, введя обозначения

, (5)

. (6)

Формулы (5), (6) называют синус-преобразованием Фурье.

Если f(x) - чётная, то

, (7)

. (8)

Формулы (7), (8) называют косинус-преобразованием Фурье.

Пример:

Функция f(x) - чётная. Следовательно,