Z-преобразование

Найдём операторную связь между решётчатым входом и решётчатым выходом системы представленной на рис.1.10 (второй ИИЭ на выходе объекта необходим для получения выходного сигнала в виде решетчатой функции). Решетчатый вход имеет вид:

.

Выход линейного объекта в соответствии с принципом суперпозиции представляет собой сумму реакций на последовательность дельта функций, т.е. сумму импульсных переходных функций. Далее, непрерывный выходной сигнал преобразуется в решетчатый по известной процедуре, к решетчатому выходу применяется преобразование Лапласа. В итоге получаем изображение решетчатого выхода:

где g(t) - импульсная переходная функция (ИПФ) приведенной непрерывной части системы.

Введём новую переменную q=n-k, тогда n=q+k, тогда

Напомним, что ИПФ равна нулю при отрицательных значениях аргумента, при выводе было использовано это свойство. В результате получаем:

.

Операторное выражение, связывающее изображение импульсного входа и изображение импульсного выхода - это дискретная передаточная функция

.

Введём новый оператор и назовём его оператором сдвига на шаг вперёд, тогда дискретную передаточную функцию можно записать так:

.

Построим на языке операторных преобразований следующую цепочку:

Последнее равенство в этой цепочке и есть рабочее соотношение для нахождения дискретной передаточной функции непрерывного объекта, при условии, что на его входе стоит экстраполятор нулевого порядка. Здесь - передаточная функция приведенной непрерывной части системы, включающей в себя формирующий фильтр и объект управления .