Быстрое преобразование Фурье
Из формул (8.21) и (8.22) видно, что для вычисления ДПФ или обратного ДПФ последовательности из N элементов требуется выполнить N 2 операций с комплексными числами. Если число элементов обрабатываемых массивов составляет порядка тысячи и более, то время, необходимое на выполнение этих преобразований, резко возрастает и теряется возможность обработки сигналов в реальном масштабе времени.
В 60-е годы Кули и Тьюки был предложен метод вычисления коэффициентов Фурье, позволивший снизить объем вычислений до операций. Он получил название алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). В настоящее время процедуры, реализующие алгоритм БПФ входят во все математические библиотеки, используемые при написании программ на языках программирования высокого уровня и специализированные пакеты для математических вычислений. Мы рассмотрим только основную идею БПФ для случая, когда число отсчетов , где p – целое число.
Разобьем входную последовательность на две части с четными и нечетными номерами:
, , (8.23)
где .
Это позволяет представить n-й коэффициент ДПФ в виде
(8.24)
Из (8.24) видно, что первая половина коэффициентов ДПФ исходного сигнала с номерами от 0 до выражается через коэффициенты ДПФ двух частных последовательностей:
, (8.25)
где .
Так как последовательности коэффициентов массивов и являются периодическими с периодом , то
, . (8.26)
Подставляя (8.26) в (8.25) и учитывая, что
, (8.27)
получаем выражение для второй половины множества коэффициентов ДПФ:
, (8.28)
где .
Формулы (8.26), (8.28) лежат в основе алгоритма БПФ: последовательности отсчетов с четными и нечетными номерами вновь разбиваются на две части. Процесс продолжается до тех пор пока не получится последовательность, состоящая их одного элемента. ДПФ данной последовательности совпадет с сами элементом. Затем последовательно находятся коэффициенты ДПФ предыдущих последовательностей.
В пакете MATLAB быстрое одномерное преобразование Фурье реализовано парой функций, выполняющих прямое и обратное БПФ: fft/ifft.Данные функции используются как для действительных, так и для комплексных последовательностей, при этом длина последовательностей может быть произвольной.
Обращение к функциям:
fft(v) – возвращает дискретное преобразование Фурье 2m-мерного вектора, аргумент которого есть результат дискретизации через равные промежутки времени некоторой функции. Результат работы программы комплексный вектор размерности 2m+1. Элементы вектора, возвращаемого функцией fft, вычисляются по формуле
,
где N – число элементов вектора v.
ifft(v) – обратное дискретное преобразование Фурье, комплексного вектора, содержащего значения ДПФ. Вектор v должен иметь 2m+1 элементов. Результат работы программы действительный вектор размерности 2m+1. Элементы вектора, возвращаемого функцией ifft, вычисляются по формуле
,
где N – число элементов вектора v. Отметим, что для всех векторов справедливо соотношение ifft(fft(v))=v.
fft(v,n) - возвращает дискретное преобразование Фурье 2n-мерного вектора, аргумент которого есть результат дискретизации через равные промежутки времени некоторой функции. Результат работы программы есть комплексный вектор размерности 2n+1. Если последовательность, хранящаяся в векторе v дополняется нулями.
ifft(v,n) – обратное дискретное преобразование Фурье, комплексного вектора, содержащего значения ДПФ. Результат работы программы комплексный вектор размерности 2n+1. Если последовательность, хранящаяся в векторе v дополняется нулями.
Пример 8.2. Используя функции пакета MATLAB для вычисления БПФ, вычислить спектр функции, являющейся суммой двух периодических функций
+ ,
где , Гц, , Гц, заданной набором дискретных значений в N=8192 точках на интервале [0,2] с. Для решения задачи необходимо выполнить следующую последовательность команд:
>> N=8192;% число точек для вычисления функции
>> i=1:N;
>> Tmax=2;% длительность временного интервала в секундах
>> t(i)=Tmax/(N-1)*(i-1);% задание временной сетки
>> f1=40% частота первой составляющей в Гц
>> f2=90% частота второй составляющей в Гц
% вычисление мгновенных значений функции
>> f(i)=0.8*sin(2*pi*f1*t(i))+0.4*sin(2*pi*f2*t(i));
>> figure(1);plot(t,f);
% вычисление спектра
>> c=fft(f);
% вычисление нормированного амплитудно-частотного спектра
>> j=2:N/2;
>> Cm(j-1)=abs(c(j-1))/(N/2);
>> Freq(j-1)=(j-1)/Tmax;% вычисление вектора частот в Гц
>> plot(Freq,Cm);
>> axis([0 100 0 1]);
Результат выполнения описанной выше последовательности команд представлен на рис. 8.3. 8.4.
Рис. 8.3. Зависимость мгновенных значений функции f=f(t) от времени
Рис. 8.4. Спектр функции f=f(t)
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 1923;