В неопределенном интеграле.

Теорема. Пусть функции u и υ определены и дифференцируемы на некотором промежутке и функция υdu имеет на этом промежутке первообразную. Тогда функция u·dυ также имеет первообразную на данном промежутке, причем справедлива формула

.

Доказательство. Найдем дифференциал от произведения u · υ.

d(uυ) = du·υ + u·dυ.

Проинтегрируем обе части этого равенства.

òd(uυ) = ò(du·υ + u·d υ).

uυ = ò υdu + ò udυ,

ò udυ = uυ - ò υdu - формула интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям применяется при нахождении интегралов следующих видов:

1)

, где P(x) - многочлен, его выбирают в качестве u.

2)

В качестве u выбирают трансцендентную функцию.

3) Циклические интегралы – те, в которых подынтегральная функция представляется в виде произведения двух функций, мало меняющихся при интегрировании и дифференцировании.

Пример 1.

Пример 2.

.