Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Найдём разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена:

1.

так как и , при , где А - сколь угодно большое положительное число, следовательно функция - разложима в ряд Маклорена, сходящийся к ней при :

тогда

(1)

Где

2.

Используя разложение (1), определение и свойство суммы сходящихся рядов имеем:

, (2)

Где .

3.

на основании теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда получаем:

(3)

Где .

4.

…………………………………

Т.к. , для , то функция разложима в ряд Маклорена

Окончательно получаем

(4)

5.

Воспользуемся соотношением .

(5)

6.

Рассмотрим ряд:

При это убывающая геометрическая прогрессия, ее сумма .

(6)

Для .

7. , где aÎR.

Заметим, что функция и ее производная удовлетворяют дифференциальному уравнению

(7)

с начальными условиями: f(0)=1;

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения единственно, следовательно, если найдётся степенной ряд

удовлетворяющий уравнению, то он и будет искомым разложением заданной функции.