Интегрирование дифференциальных уравнений

Степенные ряды могут применяться для нахождения приближенного решения дифференциального уравнения, если его решение не удается найти в элементарных функциях.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию

Решение. Уравнение допускает разделение переменных :

однако интеграл от левой части уравнения не выражается в элементарных функциях. Будем искать решение в виде ряда Маклорена

Так как , а (*) то .

Дифференцируя по х обе части равенства (*), находим

; (**)

откуда

;

Дифференцируя обе части равенства (**) , находим . Продолжая этот процесс, можно получить любое число членов разложения в ряд Маклорена искомого решения