Основная тригонометрическая система функций

Определение: Основной тригонометрической системой функций в евклидовом пространстве называется система:

(1)

Теорема: Основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке длиной 2l, например на отрезке , причем норма первого члена равна , а любого другого .

Первая функция системы ортогональна каждой из последующих, т. к. для любого n N:

Попарно ортогональны и следующие функции, n≠m,

,

Мы воспользовались формулой:

Рассмотрим два других интеграла:

=

Аналогично:

= .

Вычислим норму первого элемента:

,

И нормы других элементов:

Теорема доказана.

Примером ортогональной нетригонометрической системы функций является система полиномов Лежандра:

, она ортогональна на отрезке [-1,1].