III. Исследование функций и построение графиков

Схема исследования функций и построение их графиков:

1) Найти область определения функции.

2) Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках.

3) Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

4) Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции (необходимо решить уравнение ).

5) Найти асимптоты графика функции:

- вертикальные;

- наклонные (горизонтальные).

6) Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

7) Найти интервалы его выпуклости вверх и вниз и точки перегиба функции.

8) построить график функции, используя все полученные результаты исследования. Если их окажется недостаточно, то следует найти еще несколько точек графика функции исходя из её уравнения.

Пример 3.1. Исследовать функцию и построить её график:

1) Функция определена на всей числовой оси, кроме точки .

2) В точке функция имеет бесконечный разрыв: при и , . Во всех других точках числовой оси функция непрерывна.

3) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как и , .

4) График функции пересекает ось Ox в точке (1,0) и не пересекает оси Oy.

5)Прямая (ось ординат) является вертикальной асимптотой графика функции, так как при она имеет бесконечный разрыв.

Следовательно, прямая есть наклонная асимптота. При параметры и имеют те же значения, поэтому других асимптот нет.

в точке , которая является критической; не существует в точке .

Исследуем критическую точку по знаку :

; ,

следовательно, есть точка минимума.

Слева от точки минимума, при , , функция убывает; между точкой минимума и точкой разрыва, при , , функция возрастает; справа от точки разрыва, при , , функция убывает.

7) ; ; не существует при , но это значение не может быть абсциссой точки перегиба, так как оно является точкой разрыва. Следовательно, график функции не имеет точек перегиба.

Во всей области определения функции , поэтому ее график всюду обращен выпуклостью вниз.

8) Используя все полученные данные, строим график функции.

Пример 3.2. Исследовать и построить график функции .

1) Функция существует всюду, кроме точек .

2) В точках функция имеет бесконечный разрыв, причем:

3) Функция является четной, так как . Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy.

4) Кривая проходит через начало координат, так как при . Других точек пересечения с координатными осями нет.

5) Прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции.

При имеем ,

Таким образом, расстояние от любой точки М на кривой до прямой при стремится к нулю, следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой для данной кривой.