Аппроксимация аналитических функций полиномами.

Пусть аналитическая функция в окрестности , тогда всюду в круге равномерно приближается полиномом.

Можно разложить в ряд Тейлора в окрестности

- ряд сходится в круге сходимости ,

- ряд сходится в круге

Поэтому в качестве приближающих полиномов можно взять полиномы Тейлора – частичные суммы ряда Тейлора

Если аналитична в некоторой области , то можно ли приблизить нашу функцию полиномами?

Пусть - кольцо.

аналитична в , тогда раскладывается в ряд Лорана

Если , то слагаемые имеют вид - можно ли полиномом приблизить эту функцию?

в кольце не можем приблизить полиномами вида ,

Рассмотрим функцию на единичной окружности .

Требуется найти последовательность полиномов так, чтобы на :

Теорема. Такой последовательности полиномов не существует.

Доказательство: Докажем, что , что

Допустим, что такую константу нашли, тогда

Докажем существование константы