Следствие из принципа аргумента

Пусть аналитична вне кривой , тогда

Пусть число нулей с учетом кратностей , тогда

Если

Формулировка задачи Римана:

Пусть , - функция на (замкнутая).

Требуется найти две аналитических функции

внутри ,

вне

так, чтобы выполнялось:

o Для предельных значений на

o Однородная задача Римана ( )

I шаг. ,

(непрерывность по Гёльдеру)

Рассмотрим интеграл Коши

По формулам Сохоцкого

II шаг. Пусть имеем решение однородной задачи

Найдем индексы от обеих частей равенства

1.) , предположим, что

функция однозначна, существует .

Решим задачу

По формулам Сохоцкого

2.) ( - неоднозначная функция)

Обозначим , тогда

- аналитична внутри, - аналитична вне

аналитична во всей плоскости , на у неё полюс порядка

- полином.