Гидродинамический смысл аналитичности

Пусть - плоское векторное поле.

Найдем поток векторного поля через кривую .

- касательная составляющая вектора,

- нормальная составляющая вектора.

Элементарный поток проходит через площадку за единицу времени.

Касательный вектор

Нормальный вектор

Если кривая - замкнутая

Если поток через любую замкнутую кривую равен нулю, то векторное поле без источников.

Из мат. анализа известно, что если

, то поле - потенциальное,

,

:

- функция тока.

- циркуляция векторного поля (работа) по .

Если - замкнутая кривая, то - настоящая циркуляция.

Если по любой замкнутой кривой циркуляция равна нулю, то говорят, что поле без завихрений и кроме того поле - потенциальное.

- потенциал векторного поля

Для имеем

Для имеем

Уравнение - аналитична

- аналитична

- аналитическая

- не аналитическая

- комплексный потенциал

- потенциал для

- потенциал для

Функция тока существует всегда, а потенциал (а значит и комплексный потенциал ) не всегда.

существует, если - полный дифференциал, т.е.

Если , то потенциала не существует.

Величина носит название завихренности.

Вихрь векторного поля

Поле плоское, тогда имеет одну ненулевую компоненту

Тем не менее, в случае можно построить функцию тока .

1) - потенциал, т.е.

, который существует ввиду

2) Рассмотрим

Функция удовлетворяет уравнению Пуассона .