Позиционные задачи. Способ вспомогательных сфер.

Способ вспомогательных сфер.

В тех случаях, когда:

1. пересекаются две поверхности вращения (LхD = а = ?);

2. оси данных поверхностей вращения L и D пересекаются между собой (ixj = О);

3.пересекающиеся оси формируют плоскость, параллельную одной из плоскостей проекций [Г(ixj)IIП2],

при построении линий пересечения а данных поверхностей вращения L и D в качестве посредников возможно применение концентрических сфер S с центром О в точке пересечения осей (О = ixj).

Рис.50 Способ основан на том, что поверхность вращения пересекается с сосной сферой по окружностям, плоскости которых перпендикулярны их общей оси вращения. Соосными называются поверхности, оси которых совпадают. Приведенная на Рис. 50 сфера S является одновременно сосной с поверхностью прямого кругового конуса D и кругового цилиндра L. По этой причине поверхности сфера S и конуса D пересекаются по окружности n, а поверхности сферы S и цилиндра L – по окружности m. Так как обе окружности (m и n)принадлежат одной и той же поверхности сферы S, то, как видно на Рис. 50, они пересекаются между собой в точках AиA. Являясь общими точками для двух пересекающихся поверхностей (D и L), они – эти точки – принадлежат линии пересечения а рассматриваемых поверхностей и L).

Пример. Построить линию пересечения прямого кругового конуса D и кругового цилиндра S (Рис.51).

DхS = nиn' = ?

Рис.51

В данном примере:

1. Пересекаются две поверхности вращения (D и S); '

2. Пересекаются оси iиj поверхностей вращения (D и S) соответственно;

iхj = О;

3. ПлоскостьГ, сформированная пересекающимися осями Г ( i х j), параллельна П2.

Три вышеперечисленные условия являются основанием для применения в качестве посредников концентрических сфер при решении данной задачи.

Сначала определим опорные точки линий пересечения n и n', если таковые имеются. Поскольку плоскость Г является общей плоскостью симметрии обеих пересекающихся поверхностей (D и S), то контурные образующие проекций поверхностей (на плоскости П2), пересекаясь, (принадлежат одной плоскости Г) определят опорные точки линий пересечения n и n' (A2, B2, A'2иB'2).

Переходим к определению радиусов минимальной и максимальной сфер.

Rmax равен расстоянию от проекции О2 до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих (в нашем случае А2). Сфера - посредник радиуса Rmaxпозволит повторно определить точку А. В этом необходимости нет.

Для определения Rmin необходимо из точки О2 опустить перпендикуляры на очерковые образующие обеих пересекающихся поверхностей (D и S). Больший из них (на Рис.50 к конической поверхности D) и будет Rmin.

Сфера минимального радиуса (d2) коснется конической поверхности D и дважды пересечет цилиндрическую поверхность S. В пересечении проекций полученных окружностей получаем точку 2 (22), принадлежащую линии пересеченияn' (n'2).

Для более точного решения задачи необходимо построить проекции нескольких концентрических сфер с центром в точке О2 и с радиусами Rmin < Ri < Rmax. На Рис.51 построена проекция а2 одной из таких сфер. Она пересекает по двум окружностям [одна из них b(b2)] цилиндрическую поверхность S и по двум окружностям [одна из них c(c2)] коническую поверхность D.Плоскости этих окружностей ортогональны плоскости проекций П2 и, соответственно, спроецируется на эту плоскость в виде прямых линий. В пересечениях этих прямых (в2 и с2) мы имеем проекции точек 1(12) и 1'(1'2), которые одновременно принадлежат обеим поверхностям (как принадлежащие линиям этих поверхностей), и, значит, и искомой линии их пересечения n' (n'2).

Горизонтальная проекция линии пересечения строится по ее принадлежности конической поверхности.