Однородные дифференциальные уравнения.

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция называется однородной степени по переменным и если для произвольного числа выполняется равенство

для любого при котором функция определена,

Например, функция

является однородной четвертого измерения так как

Дифференциальное уравнение в нормальной форме

называется однородным относительно переменных если -однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е.

Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме

Будет однородным в том и только в том случае, когда и -однородные функции одного и того же измерения т.е.

Переписав его в нормальной форме

можно сказать, что -однородная функция нулевого измерения, поскольку

Так как однородное дифференциальное уравнение

в нормальной форме всегда можно записать в виде

то, положив получим

Следовательно, уравнение

с помощью замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно и

Рассмотрим пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

и найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Так как функции и однородные второго измерения, то данное уравнение однородное. Сделаем замену Тогда

Предполагая, что сокращаем обе части уравнения на Далее получаем

Разделяя переменные, последовательно находим

Решив его относительно найдем общее решение исходного дифференциального уравнения

Используя начальное условие определим значение

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид

Контрольные вопросы

1. Какой вид имеют линейные дифференциальные уравнения первого порядка?

2. Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

3. Какое решение дифференциального уравнения называют общим, а какое – частным?

4. Что значит решить задачу Коши с геометрической точки зрения?