Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общее решение линейного неоднородного уравнения

имеет вид где общее решение соответствующего ему однородного уравнения

а одно из частных решений уравнения

Для того, чтобы решить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами, необходимо:

1) найти его фундаментальную систему решений;

2) составить общее решение однородного уравнения;

3) найти частное решение уравнения

4) по формуле получить общее решение .

Если известна фундаментальная система решений уравнения

то частное решение уравнения

можно найти методом вариации произвольных постоянных, согласно которому всегда представимо в виде

где образуют фундаментальную систему уравнения

Особенности интегрирования неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод вариации произвольной постоянной

В различных инженерных приложениях правая часть уравнения

во многих случаях имеет специальный вид

где многочлены степени соответственно, некоторые постоянные числа. Доказано, что во всех случаях, а также и в общем случае, частное решение уравнения имеет следующую структуру

где многочлены степени число, равное числу корней характеристического уравнения , совпадающему с числом Таким образом, если среди корней нет числа если существует один корень, совпадающий, с если существует двукратный корень, совпадающий с и т.д. Следовательно, согласно формуле

сразу можно определить структуру частного решения в котором неизвестными являются только коэффициенты многочленов Подставляя решение и его производные в уравнение

и приравнивая коэффициенты подобных членов слева и справа, получаем необходимое количество линейных алгебраических уравнений для вычисления этих неизвестных коэффициентов. Такой способ нахождения коэффициентов и, тем самым, называется методом неопределенных коэффициентов. Следовательно, зная структуру можно найти частное решение с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование и решение систем линейных алгебраических уравнений, не применяя операцию интегрирования.

Рассмотрим пример. Найти общее решение уравнения

Решим соответствующее однородное уравнения

составим соответствующее ему характеристическое уравнение

Общее решение соответствующего однородного уравнения

Правая часть исходного дифференциального уравнения специальная, определим ее общий вид

Определив и можно записать

Общим решением исходного дифференциального уравнения является функция

Рассмотрим пример. Найти общее решение уравнения

Соответствующее однородное уравнение

которому соответствует характеристическое уравнение

Общее решение однородного уравнения

В правой части уравнения – произведение многочлена нулевой степени, показательной и тригонометрической функций и частное решение ищем в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

Приравнивая коэффициенты при и находим

Таким образом, частное решение

а общее решение уравнения

Рассмотрим пример. Найти общее решение уравнения

Характеристическое уравнение соответствующего однородного

Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения

Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций и то частное решение данного уравнения можно искать в виде где частное решение уравнения а частное решение уравнения