Абсолютно твердое тело. Уравнения движения (поступательного и вращательного).

Абсолютного твердого тела не существует, это понятие условное и краткое определение можно сформулировать следующим образом: абсолютно твердое тело – тело, не поддающееся деформации (в дальнейшем просто твердое тело).

Поступательное движение твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению.

При поступательном движении твердого тела все его точки перемещаются совершенно одинаково. Соответственно в каждый момент времени скорости всех точек тела одинаковы, следовательно, одинаковы и их ускорения. Поэтому кинематическое рассмотрение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения любой из его точек. В динамике обычно рассматривают движение центра масс тела. Твердое тело, свободно движущееся в пространстве, имеет три поступательные степени свободы, соответствующие его поступательным перемещениям вдоль трех осей координат.

Движение твердого тела, при котором две его точки и остаются неподвижными, называется вращательным движением тела вокруг неподвижной оси. Неподвижная прямая, жестко связанная с телом, вокруг которой совершается вращение, называется осью вращения тела. При вращении вокруг неподвижной оси все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны к ней.

Для характеристики быстроты и направления вращения тела вокруг оси служит угловая скорость. Угловой скоростью называют вектор , который численно равен первой производной от угла поворота по времени и направлен вдоль неподвижной оси вращения так, чтобы из его конца вращение тела было видно происходящим против часовой стрелки (рис.10), правило винта.

Рис.10

Рис. 11

Правило винта: направление вектор а совпадает с направлением поступательного движения правого винта, вращающегося вместе с телом. Векторы, подобные , направление которых связывается с направлением вращения и изменяется на противоположное при переходе от правой системы координат к левой, называются псевдовекторами или аксиальными векторами (в отличие от обычных, полярных векторов, не изменяющих своего направления при указанном преобразовании координат). Например, векторное произведение двух полярных векторов является псевдовектором, а векторное произведение псевдовектора и полярного вектора – полярным вектором.

Аксиальные векторы и не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения. На рис.10 они отложены из некоторой т.О неподвижной оси вращения, принимаемой одновременно за начало координат системы отсчета.

Произвольная точка М твердого тело, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ с угловой скоростью w, описывает окружность радиуса r с центром в точке О' (рис.11).

Скорость т.М, в отличие от угловой скорости тела, часто называют линейной скоростью. Она направлена перпендикулярно как к оси вращения (к вектору ), так и к радиусу-вектору , проведенному в т.М из центра окружности О' и равна их векторному произведению:

и .

Здесь - радиус-вектор т.М, проведенный из т.О оси вращения, принятой за начало координат. Периодом вращения называется промежуток времени , в течение которого тело, равномерно вращаясь с угловой скоростью , совершает один оборот вокруг оси вращения (поворачивается на угол ).

Движение твердого тела, при котором одна из его точек остается неподвижной, называется вращением тела вокруг неподвижной точки. Обычно эту точку принимают за начало координат неподвижной системы отсчета. При вращении вокруг неподвижной точки все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер, центры которых находятся в неподвижной точке. В каждый момент времени это движение тела можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку и называемой мгновенной осью вращения.

Ускорение а произвольной т.М тела, вращающегося вокруг неподвижной т.О или неподвижной оси, проходящей через эту точку, часто называют, в отличие от углового ускорения тела, линейным ускорением, которое равно

,

где а_вр – вращательное ускорение точки; а_ос –осестремительное ускорение точки, направленное к мгновенной оси вращения.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси OZ (рис.11), то вращательное ускорение т.М совпадает с ее касательным ускорением а_t, а осестремительное – с нормальным ускорением а_n.

2. Элементы релятивистской механики.