Ускорение и его составляющие

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Пусть вектор задает скорость точки А в момент времени . За время движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению, равную . Перенесем вектор в точку А и найдем (рис. 4).

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от до называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени :

Рис.4

Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени будет предел среднего ускорения: . Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А (см. рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор AD, по модулю равный .

Очевидно, что вектор CD, равный представляет собой изменение скорости по модулю за время :

.

Вторая же составляющая вектора , характеризует изменение скорости за время по направлению.

Предел отношения- , являющийся производной от скорости по времени, определяет быстроту изменения скорости в данный момент времени и является тангенциальной составляющей ускорения :

.

Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка достаточно близка к точке , поэтому можно считать дугой окружности некоторого радиуса , мало отличающейся от хорды .. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует , но так как , то

В пределе при . Поскольку , угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между и стремится к прямому. Следовательно, при векторы и оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор , перпендикулярный скорости, будет направлен к центру круга ее кривизны.

Рис. 5

Вторая составляющая ускорения, равная называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением). Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 5): .

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

С учетом тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом :

1) - прямолинейное равномерное движение;

2) — прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

.

Если в начальный момент времени , а начальная скорость , то, обозначив и , получим ,

откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, получим формулу для пройденного пути в случае равнопеременного движения:

3) - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) . При а = 0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, имеем дело с равномерным движением по окружности;

5) - равномерное криволинейное движение;

6) - криволинейное равнопеременное движение;

7) - криволинейное движение с переменным ускорением.