Вращательное движение твердого тела. Угловая скорость и ускорение, их связь с линейными величинами

В случае движения материальной точки по окружности по аналогии с линейными скоростью и ускорением вводятся угловая скорость и угловое ускорение.

Рис. 6

Пусть точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через малый промежуток времени зададим углом . Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени: .

Направление вектора угловой скорости задается правилом винта: вектор угловой скорости совпадает по направлению с поступательным движением острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности (рис. 7).

Рис.7

Размерность угловой скорости [ ]=с , а ее единица - радиан в секунду (рад/с). Линейная скорость точки (см. рис. 1)   .

.

Если = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2 . Так как промежутку времени = Т соответствует , то , откуда

.

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

, откуда .

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

.

Из этой формулы следует, что вектор углового ускорения направлен по оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор параллелен вектору (рис. 8), при замедленном — антипараллелен (рис. 9).

Рис. 8

Рис. 9

Тангенциальная составляющая ускорения и

Нормальная составляющая ускорения

.

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение нормальное ускорение и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e = const)

где w₀ – начальная угловая скорость.