Траектория. Вектор перемещения. Скорость. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется тремя скалярными уравнениями:

х = х (t), y= y(t), z= z(t). (1.1)

эквивалентными векторному уравнению

r= r(t). (1.2)

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Если материальная точка движется в пространстве, то, как уже было сказано, она обладает тремя степенями свободы (координаты х, у и z), если по некоторой поверхности, то двумя степенями свободы, если по кривой, то одной степенью свободы.

Исключая t в уравнениях (1.1) и (1.2), получим уравнение траектории материальной точки.Траектория материальной точки — линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может бытьпрямолинейным или криволинейным.

Рис.2

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис. 2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути

S и является скалярной функцией времени:

Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени, называется вектором перемещения.

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина - скорость, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени ей соответствует радиус-вектор (рис.3).

Рис.3

В течение небольшого промежутка времени

точка пройдет путь

и получит элементарное перемещение

. Величина

(1.3) называется средней скоростью движения за время

. Направление средней скорости совпадает с направлением

. Если в (1.3) перейти к пределу при

, то получим выражение для мгновенной скорости v: .

(1.4)

Мгновенная скорость , таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис.3). По мере уменьшения путь все больше будет приближаться к .

(1.5)

Таким образом, числовое значение мгновенной скорости равно первой производной пути по времени:

(1.6)

В случае неравномерного движения, когда числовое значение мгновенной скорости с течением времени изменяется, пользуются скалярной величиной - средней скоростью неравномерного движения на данном участке: