В результате получаем связь между Еп и F, в векторной форме ее записывают сокращенно в виде

,

где используют математический символ для вектора, который называется градиентом скаляр­ной величины Е_п и обозначается grad (Е_п) .

2.9. Закон сохранения и превращения энергии в механике. @

В 1748 г. М.В.Ломоносов сформулировал закон сохранения материи и движе­ния. Через 100 лет Р.Майер и Г.Гельмгольц дали количественную формулировку за­кона сохранения и превращения энергии.

В замкнутой системе энергия может пе­реходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела другому, но об­щее количество энергии остается неизменным. В природе и технике постоян­но имеют место превращения одних видов энергии в другие. Например, в электро­двига­телях электрическая энергия переходит в механическую, в ядерном реакторе ядерная энергия переходит в тепловую, затем в механическую и электромагнитную, при фо­тоэффекте - электромагнитная в электрическую и т.д. Однако следует иметь в виду, что одновременно может происходить несколько типов превращений энергии, например, обычно некоторая часть энергии непременно пре­вращается во внутреннюю (тепловую) энергию вещества (в энергию теплового движения молекул). Но всегда общий запас энергии системы в любой момент времени оста­ется неизменным. Закон сохранения и взаимопревращения энергии является всеобщим законом природы, не имеющим исключений; если он как бы нарушается в эксперименте, значит что-то не учтено.

Закон сохранения механической энергии формулируется следующим об­ра­зом: Если в замкнутой системе действуют консервативные силы, то механи­ческая энергия не переходит в другие виды и остается постоянной во времени (при этом возможен переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот) .

Продемонстрируем действие этого закона на примере свободного падения тела.

Пример: Пусть тело массой m начинает падать вниз с высоты h.

Рассчитаем его механическую энергию в различные моменты времени. В начальный момент времени, в верхней точке его механическая энергия равна mgh (Е_к =0 так как начальная скорость равна нулю).

Если не учитывать силы трения о воздух, то в любой следующий момент времени t координату и скорость тела можно рассчитать с помощью законов кинематики для равноускоренного движения с ускорением свободного падения g (см. рис.2.12): z = h ‑ gt²/2, v = ‑ gt.

Механическая энергия в этот момент времени будет равна

Е_м = Е_п + Е_к = mgz + mv²/2 = mg(h – gt²/2) + m(gt)²/2 = mgh, т.е. равна энергии в начальный момент времени. Отсюда видно, что механическая энергия не меняется со временем. Если же рассматривать и действие сил трения, то окажется, что механическая энергия тела при движении уменьшается. Это объясняется частичным превращением ее во внутреннюю (тепловую) энергию воздуха и самого тела.

3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. @

3.1. Основные характеристики динамики вращательного движения. @

Для описания вращательного движения используются следующие па­раметры : момент инерции J, момент силы , момент импульса тела . Ана­ло­гами их в поступательном движении являются масса m, сила , импульс тела .

Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси есть ска­лярная физическая величина равная произведению массы этой точки на квадрат кратчайшего рас­стояния от нее до оси вращения .

Чтобы рассчитать момент инерции твердого тела, его мысленно разбивают на n материальных точек с массами Dm₁, Dm₂,..., Dm_n, находящихся на расстояниях r₁, r₂,..., r_n от оси вращения. Момент инерции твердого тела J, вращающегося вокруг неподвижной оси ра­вен алгебраической сумме моментов инерции всех точек, из которых состоит тело . При непрерывном распределении масс тела эта сумма сводится к интегралу , где V - объем тела, r – кратчайшее расстояние от точки до оси вращения. На основании этой формулы рассчитываются моменты инерции тел различной формы. Например: 1) полый тонкостенный цилиндр или обруч радиуса R, массой m и осью вра­ще­ния, совпадающей с осью симметрии ; 2) сплошной цилиндр или диск радиуса R, массой m и осью вращения, совпа­дающей с осью симметрии ; 3) шар радиуса R, массой m и осью вращения, проходящей через его центр . Приведенные примеры показывают, что момент инерции тела зависит от его массы, формы, геометрических размеров, его расположения относительно оси вра­щения, распределения массы по объему тела.

Расчет моментов инерции тел относительно осей, не совпадающих с осью сим­метрии более сложен. В таких случаях применяется теорема Штейнера: мо­мент инерции любого тела относительно произвольной оси ОО¢ равен сумме момента инерции этого тела J_O относительно оси АА¢ , параллельной данной и проходящей через центр масс тела С, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис.3.1) .

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется вектор­ная физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора , про­веденного из точки О в точку приложения силы, на век­тор силы: .

Рис.3.2. Момент силы относительно непод­вижной точки.

Направление перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и . Его направление совпада­ет с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к (рис.3.2). Модуль момента силы

, - плечо силы - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Если к точке А приложено несколько сил, то результирующий будет равен векторной сумме моментов слагаемых сил:

Момент силы, действующей на тело относительно неподвижной оси z, есть ска­лярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, опреде­ленно­го относительно произвольной точки О данной оси z (рис.3.3) .

Рис.3.3. Момент силы относительно непод­вижной оси.

Значение момента M_z не зависит от положения точки О на оси z. Если ось z совпа­дает с направлением вектора , то момент силы равен .

Момент импульса (количества движения) матери­альной точки А относительно неподвижной точки О есть векторная физическая величина, определяемая векторным произведением двух векторов: радиуса-вектора , прове­денного из точки О в точку А, и импульса материальной точки

.

Направление вектора совпадает с направлением посту­па­тельного движения правого винта при его вращении от к (рис.3.4).

Рис.3.4. Момент им­пульса относительно неподвижной точки.

Модуль вектора , a - угол между векторами и , l - плечо вектора (или ) относительно точки О.

Моментом импульса точки относительно неподвиж­ной оси z называется скалярная величина L_z равная проек­ции на эту ось вектора мо­мента импульса, определенного относительно произволь­ной точки О данной оси , где угол между вектором и осью z.

Момент импульса твердого тела есть векторная сумма мо­ментов импульса всех точек, из которых состоит тело. Если число точек системы равно n, тогда .

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси угловые скорости w всех его точек равны, угол между векторами и равен и все вектора на­правлены по оси вращения в одну сторону. Отсюда модуль вектора тела равен , ,

.

Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции этого тела относительно той же оси на угловую скорость.Направления векторов и совпадают и .

3. 2. Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела. @

Найдем работу при вращательном движении твердого тела. Пусть ось враще­ния проходит через точку О, находящуюся на расстоянии r от точки приложения силы С, а a ‑ угол между векторами и (рис.3.5). При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения силы проходит путь dS=rdj. Работа силы равна произведению проекции силы вдоль смещения Fsin(a) на величину этого смещения r dj . . Но F×r×sin(a ) = M - момент силы. Таким образом: работа силы при вращении тела вокруг неподвижной оси равна произведе­нию момента действующей силы на угол поворота dA = Mdj.

Чтобы рассчитать кинетическую энергию вращательного движения твердого тела, мысленно его разобьем на n материальных точек с массами m₁, m₂,...,m_n, нахо­дящихся на расстояниях r₁, r₂,...,r_n от оси вращения. Так как тело абсолютно твердое, уг­ловые скорости всех его точек одинаковы

.

Линейные скорости точек будут разные , и т.д. Кинетическая энергия вращающегося тела Е_к.вр равна

;

.

Работа внешних сил при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии. dA=dЕ_к.вр, следовательно работу можно пред­ставить как разность кинети­че­ских энергий ко­нечного и начального положений

Если тело катится без скольжения, то оно одновременно участвует в двух дви­жениях : по­ступательном и вращательном, и его кинети­чес­кая энергия

.

3. 3. Основное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. @

Воспользуемся соотношением, приведенным выше dA=dE_вр, т.е.

Поделим обе части равенства на dt:

и так как , а , то или

В векторном вид или представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела. Угловое ускорение, приобретаемое телом при вращении его вокруг неподвиж­ной оси, прямо пропорционально вращающему моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции тела. По форме оно сходно с уравнени­ем II закона Ньютона. Из их сопоставления вытекает, что при вращательном движе­нии роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения - угловое уско­рение, роль силы - момент силы.

Ранее получено, что . Возьмем первую производную по времени от этого равенства

.

Это выражение есть вторая (более общая) форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела: Скорость изменения момента импульса тела равна результирующему мо­менту всех внешних сил, (оно сходно с законом динамики по­ступательного движения: ).

Если на тело не действуют внешние силы или система тел замкнутая, то мо­мент сил и , откуда и получаем закон сохранения момента импульса: Момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным во вре­мени. Аналогом его в поступательном дви­жении является закон сохранения импульса замкнутой системы тел. Закон со­хранения момента импульса справедлив и для тел, размеры, форма и момент инер­ции которых могут меняться в ходе движения. Поскольку величина , то при уве­личении момента инерции J, угловая скорость w умень­шается и наоборот. К примеру, акробат, совершая переворот в воздухе, чтобы уве­личить угловую скорость своего вращения, группируется, т.е. прижимает к себе руки и ноги. При этом его момент инерции уменьшается.

4. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. @

4.1. Основные характеристики гармонического колебания. @

Колебательным движением называется процесс, при котором система мно­го­кратно от­клоняясь от своего состояния равновесия, ка­ж­дый раз вновь возвраща­ется к нему. Промежуток времени Т, спустя который процесс полностью повторяет­ся, называется пе­риодом колебания.

Колебательные движения широко рас­про­странены в природе и технике. Качание ма­ят­ника часов, вибрация натянутой струны, мор­ские при­ливы-отливы, тепловые колебания ио­нов кристал­лической решетки твердого тела, переменный электрический ток, свет, звук. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различа­ют свободные незатухающие (или собственные) колебания, затухающие колебания, вынужденные ко­ле­бания, автоколе­ба­ния.

Свободные колебания происходят в систе­ме, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения рав­новесия. Простейшим свободным периодическим механическим колебанием является гармониче­ское колебательное движение точки (тела), при котором зависимость смещения из положения равновесия S от времени t описывается уравнениями:

или ,

А - амплитуда колебаний или максимальное смещение из положения равновесия, w₀ - круговая (циклическая) частота, - фаза колебаний в момент времени t, j - начальная фаза колебаний или фаза в момент времени t=0. Такие колебания происходят под действием так называемых квазиупру­гих сил. Квазиупру­гие силы - это силы, имеющие такую же закономерность, как и сила упругости.

Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колеба­ния, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер близкий к гармони­ческим; 2) различные периодические процессы можно представить как сложение не­скольких гармонических колебаний.

Через время Т фаза колебания получит приращение и колебательный про­цесс повторяется: , откуда . Число полных колебаний в единицу времени есть частота колебаний n, для нее вытекают соотношения , .Так как значения синуса и косинуса изменяются в пределах от +1 до -1, S при­нимает значения от +А до -А.

4.2. Скорость и ускорение при гармоническом колебании. @

Скорость гармонического колебания есть первая производная от смещения S по времени t. Пусть , тогда

. Скорость сдвинута по фазе относительно смещения на p/2. Так как максимальное значе­ние косинуса равно 1, максимальное значение скорости равно .

Ускорениеа гармонического колебания есть первая производная от скорости v по времени t.

. Ускорение сдвинуто по фазе относительно смещения на p. Так как максимальное значе­ние синуса равно 1, то максимальное значение модуля ускорения равно . На рис.4.1. представлены графики зависимости S, v и a от времени. Для удобства изображения начальная фаза принята равной нулю j=0, т.е. .

Связь ускорения и смещения можно получить, если в формуле для ускорения множитель заменить на S, получим .

Сила, действующая на колеблющуюся матери­альную точку массой m по II за­кону Ньютона равна

, .

Отсюда следует, что сила пропорциональна смеще­нию материальной точки и про­ти­воположна ему по направлению, такую силу называют квазиупругой. Согласно полученному выражению для силы можно сказать, что гармоническое колебание – это колебание, которое происходит при действии на тело квазигармонической силы.

Так как. , то и .

Полученное выражение называют дифференциальным урав­нением гармонических колебаний, с точки зрения математики это линейное однородное дифференциальное урав­нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решениями являются: либо .

Кинетическая энергия материальной точки при гармоническом колебании равна

Потенциальная энергия материальной точки при гармоническом колебании под действием упру­гой силы, согласно ее определению, равна