Где: А – со­вершаемая работа, Е1 и Е2 - энергии системы в на­чальном и конечном состояниях.

Сила, приложенная к телу, со­вершает работу, если тело перемещается.Если тело движется прямолинейно и на него дейст­вует постоянная сила, на­правленная под углом a к пере­мещению, то работа равна скалярному произведению векторов перемещения и силы (рис.2.6) ,где - касательная составляющая силы, т.е. проекция на .Если же сила переменна по величи­не и по направ­лению или перемещение не пря­молинейно, то траек­торию движения раз­бивают на малые уча­стки dS - так, чтобы уча­сток можно было бы счи­тать прямоли­нейным и силу, действующей на нем - по­сто­ян­ной (рис.2.7). Тогда работа на этом участке , а работа на всем пути равна сумме всех элемен­тарных работ . При . Для вычисления та­кого интеграла надо знать зависимость от S. Если эту зави­си­мость представить гра­фически (рис.2.8), то­гда ра­бота силы по пе­ремещению из S₁ в S₂ численно равна пло­щади заштрихован­ной фи­гуры, ограни­чен­ной кривой F(S), координатной осью S и двумя вертикаль­ными прямыми S₁ и S₂. Сила не со­вершает работу (А=0), если Dr=0 или . Если a< , то А>0; если a> , то А<0. При одновременном действии на тело нескольких сил, работа равна ал­гебраи­ческой сумме работ состав­ляющих сил .

Сила F называется консервативной, если совер­шаемая ею работа не за­висит от формы траектории, а зависит от на­чального и конечного поло­жений точки (тела). На рис.2.9. изображены две различ­ные траектории движе­ния тела под действием некоторой консервативной силы. Ра­бота, совершаемая дан­ной силой на пути 1а2 равна А_1а2. Работа, совершаемая на пути 2а1, будет отрица­тельной и А_1а2 = - А_2а1. Поскольку совершаемая работа не зависит от формы траектории, мы можем записать: , или , где - означает интегрирование вдоль замкнутой траектории или интеграл по контуру. Отсюда следует важное свойство консервативных сил - при перемещении материальной точки (тела) вдоль замкнутой траектории работа консервативной силы тожде­ствен­но равна нулю. Сила всемирного тяготения, сила упругости – кон­серва­тивные силы. Силы, неудовлетворяющие этому условию назы­вают неконсервативными или диссипативными. Приме­ром таких сил служат силы трения.

Для характеристики скорости совершения работы вводится понятие мощно­сти. Мощностью, развиваемой силой , называется скалярная физическая величина, численно равная работе, совершаемой этой силой за единицу вре­мени .Если в разные моменты времени dt совершаются разные работы, то используют понятие мгновенной мощности .

Для движущихся тел можно получить формулу мгновенной мощности

или ,

т.е. мощность равна скалярному произведению векторов силы и скорости.

Важное требование, предъявляемое к любому двигателю - это способность совершать большую работу за единицу времени, т.е. иметь большую мощность. Из полученной формулы следует, что для достижения этой цели необходимо либо увеличить силу тяги, развиваемую двигате­лем (например, автомобиля), либо увеличить его быстроходность. Первый путь свя­зан с увеличением силовых нагрузок на все движущиеся части двигателя (поршни, коленчатый вал и т.д.), а они имеют ограниченную прочность. Чтобы де­тали смогли выдерживать действие больших нагрузок, нужно увеличивать их раз­меры, делать их более массивными. Поэтому все мощные тихоходные машины не­обычайно громозд­кие. Второй путь позволяет получить большие мощности при малых силовых нагруз­ках на детали двигателя и меньших его размерах. В совре­менное время этот путь наиболее перспективен.

2.7. Кинетическая и потенциальная энергии. @

Полная механическая энергия Е_м складывается из кинетической Е_к и потенциаль­ной Е_п энергий Е_м = Е_к + Е_п .

Кинетическая энергия Е_к – это энергия движущегося тела, она равна работе, которую могло бы совершать тело при торможении до полной остановки Е_к=А_тор. Соответственно, эта работа чис­ленно равна работе внешней силы по увеличению скорости тела от 0 до т.е. Е_к=А_{разгона}.Рассчитаем эту работу, учитывая, что работа внешней силы F над телом на малом участке перемещения dr равна (здесь использован второй закон Ньютона, соотношение и законы дифференцирования)

.

Так как по определению , то получаем .

Если система состоит из n движущихся точек (тел), то ее полная кинетическая энергия равна

. Если система обладает только кинетической энергией, то изменение кинетической энергии тела равно работе сил, действовавших на тело во время движения .

Потенциальная энергия Е_п – это энергия взаимодействия тел системы, определяемая вза­имным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия - ве­ли­чина, зависящая от выбора начального положения, при котором Е_п=0, т.е. она величина относительная. Если работу совершают консервативные силы, то происходит изменение Е_п системы на величину . Конкретный вид зависимости Е_п от расположения тел системы связан с характером сил взаимодействия тел.

Рассмотрим два примера:

1). Определим Е_п тела, поднятого над землей т.е. энергию взаимодействия этого тела с планетой Земля. Известно, что на тело действует консервативная сила тяжести, при небольших вы­сотах h она мало меняется и считается по формуле P = mg. При паде­нии тела сила тяжести совершает работу A=mgh, при этом потенциальная энергия тела уменьшается ровно на эту величину. Если Е_п1- потенциальная энергия тела, поднятого над землей, а Е_п2 - потенциальная энергия тела на по­верхности земли, кото­рую принято считать равной нулю, то из связи работы и изменения энергии, получим . График зависи­мости Е_п от h представлен на рис.2.10. Ясно, что Е_п1>0 при h>0, т.е. над землей и Е_п2<0 при h<0, т.е. ниже уровня земли.

2). Определим потенциальную энергию упруго де­формированной пружины. Из экспериментов известно, что при сжатии (растяжении) пружины в ней возникает сила упругости . Знак минус показывает, что сила упру­гости направлена в сторону противоположную деформации. Работа этой силы затрачивается на увеличение потенциаль­ной энергии пружины т.е. A=DE_п= Е_п2- Е_п1 . Так как dA=Fdx=kxdx, то (Е_п недеформированной пружины считается равной нулю). Сле­довательно , на рис.2.11 представлен ее график.

2.8. Связь потенциальной энергии тела и действующей на него консервативной силы. @

Так как работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии, то или . Высшая математика позволяет выразить малое изменение любой функции (дифференциал функции) через частные производные от этой функции по ее аргументам. Конкретно для дифференциала потенциальной энергии, зависящей от координат, можно получить . Если подставить это выражение в , то после записи левой части через проекции силы на оси координат, получим

.

Это выражение должно быть справедливо при любых малых перемещениях dx, dy, dz, что может быть только тогда, когда выполняются соотношения .