Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах

Необходимым этапом решения любой прикладной задачи является построение математической модели изучаемого объекта или процесса. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка составляют основу простых, но весьма распространенных математических моделей, применяемых в самых разных областях науки и техники. Причина состоит в том, что многие законы физики, механики и других фундаментальных наук, используемые для количественного описания реальных объектов и процессов, устанавливают связь между величинами и их бесконечно малыми приращениями, т.е. дифференциалами. Иными словами, применяемые при решении прикладных задач фундаментальные законы часто предоставляют структуру используемых соотношений между зависимыми и независимыми переменными, близкую или совпадающую со структурой обыкновенного дифференциального уравнения.

Однако формальное использование известных законов в прикладных задачах обычно не дает желаемого эффекта. Дело в том, что каждая прикладная задача имеет свои особенности, требующие осмысления и, как правило, обоснованного упрощения и выделения основных влияющих факторов прежде, чем удается применить тот или иной закон для построения математической модели. Поскольку цель решения прикладной задачи состоит в установлении соотношений между конечными значениями зависимых и независимых переменных, то желательно, чтобы обыкновенные дифференциальные уравнения, входящие в математическую модель, допускали интегрирование и представление решения в элементарных функциях. Это условие далеко не всегда выполнимо, но поиск разумного компромисса между сложностью реального объекта или процесса и желаемой простотой их описания является лейтмотивом математического моделирования – одного из наиболее перспективных направлений прикладной математики.

Таким образом, составление входящих в математическую модель обыкновенного дифференциального уравнения требует сочетания знаний в конкретной прикладной области и достаточно высокой математической культуры. После получения решения прикладной задачи важно уметь осмыслить и проанализировать полученный результат, дать ему практическую интерпретацию и попытаться сделать полезные выводы, направленные на совершенствование рассматриваемого объекта или процесса.