Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Все сказанное выше верно и для частного случая нормальной системы дифференциальных уравнений, которая имеет вид

где функции предполагаются непрерывными в некотором интервале Если все то рассматриваемая система называется однородной, в противном случае неоднородной. Если то рассматриваемая система называется линейной с постоянными коэффициентами. Существуют методы, позволяющие проинтегрировать такую систему. Рассмотрим два из них.

Первый метод. Составляем характеристическое уравнение

где Раскрывая определитель, приходим к алгебраическому уравнению степени относительно с действительными постоянными коэффициентами, которое имеет корней.

Если корни характеристического уравнения действительные и различные то каждому корню соответствует частное решение вида

где коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений

Все частные решения вида

образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение однородной системы с постоянными коэффициентами, получаемой из системы

при представляет собой следующую совокупность функций, являющихся линейной комбинацией решений

где произвольные постоянные.

Рассмотрим пример. Найти общее решение однородной системы

Характеристическое уравнение данной системы

имеет различные действительные корни Для каждого из них составляем систему

Так как определители этих систем равны нулю, то каждая из них имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать те решения, для которых Тогда получим следующие решения систем: если то

если то

Это приводит к фундаментальной системе решений

Линейная комбинация этих решений с учетом совокупности функций

дает общее решение исходной системы

Второй случай. Корни характеристического уравнения

различные, но среди них имеются комплексные. Известно, что в этом случае каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения соответствует пара частных решений

где Коэффициенты определяются из системы

соответственно для и Коэффициенты оказываются, как правило, комплексными числами, а соответствующие им функции комплексными функциями. Выделяя мнимую и действительную части функций и пользуясь тем, что для линейных уравнений с действительными коэффициентами и мнимая, и действительная части решения также являются решениями, получаем пару частных действительных решений однородной системы.

Рассмотрим пример. Найти общее решение системы

Характеристическое уравнение системы

имеет корни Получаем

Корню соответствует система для вычисления

Согласно формуле получаем частное решение

Взяв в отдельности действительные и мнимые части в решении, получим два решения в действительной форме, образующих фундаментальную систему решений системы

Тогда общее решение системы имеет вид

Третий случай. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. В этом случае поступаем следующим образом. Пусть корень кратности характеристического уравнения. Тогда решение системы, для которой соответствующее этому кратному корню, ищем в виде

……………………………………………………………………………

Числа находим, подставляя функции и их производные в исходную систему при указанных ограничениях на и а затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левых и правых частях полученных равенств. В результате проведенных действий из всех чисел всегда остаются в качестве свободных параметров, которые принимаются за произвольные постоянные.

Рассмотрим пример. Найти общее решение системы

Характеристическое уравнение системы

имеет двукратный и однократный корни. Двукратному корню соответствует решение вида

Коэффициенты определяются из системы, полученной подстановкой выражений для в исходную систему. После сокращения на имеем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получаем систему

из которой находим, что

Числа можно считать произвольными параметрами. Обозначим их через и соответственно. Тогда решение запишется в виде

Корню соответствует решение

где числа определяется из системы

Ее решение Следовательно, соответствующее корню

решение исходной системы имеет вид

где произвольная постоянная.

Общее решение исходной систему записывается в виде

Если система неоднородная, то, зная общее решение вида

соответствующей однородной системы, можно найти общее решение исходной неоднородной системы методом вариации произвольных постоянных в решении

Общее решение неоднородной системы всегда можно записать в данном виде, заменив произвольные постоянные соответственно функциями Эти функции определяются с помощью данной неоднородной системы. В систему подставляют получают линейную систему алгебраических уравнений относительно решение которой всегда существует и представимо в виде