Определение ряда. Сходимость. Сумма ряда

Ряды являются важным математическим объектами, применяемыми для вычислений и исследований, как в различных разделах самой математики, так и во многих ее приложениях.

Пусть задана последовательность действительных чисел

Сопоставим этой последовательности чисел последовательность конечных сумм вида

На практике часто приходят к задачам суммирования бесконечной последовательности чисел В этом случае вместо слов последовательность и последовательность употребляют слово ряд. Для обозначения ряда используют символы

или

Число

называют n-й частичной суммой ряда

а число -м (общим) членом ряда.

Так как каждому ряду

соответствует последовательность его частичных сумм, и, наоборот, каждой последовательности соответствует ряд

где то каждое свойство последовательностей можно переформулировать в некоторое свойство рядов заменой характеристики членов последовательности соответствующей характеристикой членов ряда.

Таким образом, фразы «последовательность », «последовательность », «совокупность последовательностей и », «ряд » суть математические синонимы.

При определении ряда возникают вопросы:

1) Что такое «сумма» бесконечной последовательности чисел?

2) Если сумма существует, то каковы ее свойства?

Прежде чем ответить на эти вопросы, рассмотрим примеры.

Отрезок разобьем пополам (на два равных отрезка).

Правую половину отрезка, т.е. отрезок снова разделим пополам, затем разобьем пополам отрезок и т.д. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим разбиение отрезка на бесконечное множество отрезков. «Сумма» длин всех отрезков, на которые разбит отрезок равна длине отрезка, т.е. единице. Иными словами,

Это рассуждение было известно еще грекам, и философ Зенон (490 г. до н.э), известный своими «парадоксами», оспаривал его законность. Один из парадоксов утверждал, что бегущий человек никогда не сможет достичь своей цели, поскольку он должен пробежать сначала половину требуемой дистанции, затем половину оставшейся части дистанции и т.д. Таким образом, бегущий человек должен пробежать бесконечное множество расстояний, а это может продолжаться вечно.

Если бы мы попытались вычислить сумму

последовательно выполняя все указанные в ней сложения, то это никогда бы не окончилось. И все-таки указанное равенство в некотором смысле верно. В чем же заключается его точный смысл?

Определим понятие суммы ряда. Последовательности сопоставим последовательность частичных сумм где

Ясно, что

является длиной отрезка.

Если последовательность частичных сумм ряда сходится, то ее предел

называют суммой ряда, а сам ряд называют сходящимся

Если

или предел последовательности не существует, то ряд

называют расходящимся.

Рассмотрим пример. Исследуем сходимость ряда

и найдем его сумму.

Так как

то последовательность частичных сумм

имеет

Итак, заданный ряд сходится и его сумма

Замечание: для представления общего члена ряда в виде суммы простейших дробей полезно использовать метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим пример. Исследуем на сходимость ряд

Представим общий член ряда

в виде суммы простейших дробей

Умножая обе части этого равенства на знаменатель левой части, приходим к тождеству

Последовательно полагая находим

Таким образом,

Отсюда

Ясно, что

следовательно, данный ряд сходится и его сумма

Рассмотрим пример. Выясним, сходится или расходится ряд

Частичные суммы ряда равны

Имеем

так как аргумент логарифма, а значит и сам логарифм при стремятся к бесконечности. Следовательно, исследуемый ряд расходится.