Достаточные признаки сходимости ряда

Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости ряда.

Рассмотрим эталонные ряды, которые часто используются при исследовании сходимости многих рядов.

Исследуем сходимость гармонического ряда

Гармонический ряд – это ряд, каждый член которого, начиная со второго, является средним гармоническим его соседних членов

Его частичная сумма

Пусть тогда

Таким образом,

Последовательность не ограничена сверху, а потому не может быть сходящейся, так как сходящаяся последовательность ограничена. Следовательно, ряд

расходится.

Гармонический ряд расходится очень «медленно». Л. Эйлер, например, вычислил, что

(Леонард Эйлер (1707-1783) – математик, физик, механик; родился в Швейцарии, большую часть жизни прожил в России и в Германии, активно участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской и Берлинской академий.)

Рассмотрим пример. Ряд

называется обобщенно гармоническим. При это гармонический ряд, и его расходимость доказана. Покажем, что этот ряд расходится и при

Здесь

при любом Следовательно

и поэтому при данный ряд расходится. Итак, обобщенный гармонический ряд расходится при

При этот ряд сходится.

Рассмотрим пример. Исследуем на сходимость ряд

где действительное число

Преобразуем частичную сумму этого ряда следующим образом

Отсюда

Следовательно, ряд

сходится и его сумма равна

В частности, если

то

Признаки сравнения рядов.

Первый признак сравнения рядов. Пусть даны два ряда с положительными членами

причем члены первого ряда не превосходят членов второго ряда, т.е. при любом

Тогда, если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Эталонные ряды, часто используемые для сравнения:

1) геометрический ряд

который сходится при расходится при

2) гармонический ряд

который расходится;

3) обобщенный гармонический ряд

который сходится при и расходится при

Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда

Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом

знаменатель, которого

Так как члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов сходящегося геометрического ряда

то на основании признака сравнения исследуемый ряд сходится.

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный ряд», но и доказать неравенство для чего часто требуется преобразование рядов.

В ряде случаев более простым оказывается предельный признак сравнения.

Если рассматривают

ряды с положительными членами, существует конечный предел отношения их общих членов

то ряды одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим

Так как

то данный ряд, так же как и гармонический, расходится.

Рассмотрим пример. Исследовать на сходимость ряд

Подберем подходящий для сравнения эталонный ряд. Рассмотрим поведение числителя и знаменателя общего члена при

Возьмем

и в качестве эталонного ряда рассмотрим обобщенный гармонический ряд

Найдем

Предел конечен и отличен от нуля, условие предельного признака сравнения выполнено, значит, исходный ряд по предельному признаку сравнения тоже расходится.

Рассмотрим пример. Выяснить вопрос о сходимости ряда

Ряд расходится, так как

и гармонический ряд расходится.

Рассмотрим пример. Исследовать на сходимость ряд

Так как предел отношения общих членов данного ряда и ряда

равен нулю

то по предельному признаку сравнения из сходимости ряда

следует сходимость исходного ряда.

Признак Даламбера. (Жан Лерон Ламбер (1717-1783) – один из самых разносторонних и влиятельных ученых Франции. Математик, физик, механик, а также автор ряда трудов по музыке и эстетике.)