ГЛАВА 7 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию, независимые переменные и производные этой функции.

Определение Дифференциальное уравнением, в котором независимых переменных более одной, называется дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП ).

Определение Дифференциальное уравнением, в котором независимая переменная одна, называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Определение Дифференциальным уравнением n-ого порядка

называется ОДУ, в котором самый высокий порядок производной неизвестной функции равен .

Определение ОДУ вида называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной . ОДУ вида называется уравнением общего вида. Здесь - известные функции.

В терминах дифференциальных уравнений формулируются законы, по которым развиваются или связываются между собой процессы.

Определение Решением ОДУ -ого порядка на интервале

называется раз дифференцируемая на функция, которая при

подстановке в уравнение обращает его в тождественное равенство на .

Определение График решения ОДУ называется интегральной кривой.

Определение Пусть дано ОДУ ого порядка и числа . Задача нахождения решения ОДУ в окрестности точки , которое удовлетворяет равенствам , называется задачей Коши. Сами равенства называются условиями Коши, а числа - данными Коши.

Определение Общим решением ОДУ n- ого порядка в окрестности точки называется функция , зависящая от параметров , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Определение Решение, получаемое из общего при конкретных значениях параметров, называется частным.

Определение Решение ОДУ , в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

Определение Решение, заданное в виде неявной функции и зависящее от произвольных параметров, называется общим интегралом.

Определение Проинтегрировать ОДУ в явном виде – это значит найти

его общее решение в виде элементарной функции.

Определение Проинтегрировать ОДУ в квадратурах – это значит найти его общее решение в виде интегралов от элементарных функций. и второго порядков

_____

Определение ОДУ вида или вида называется ОДУ с разделяющимися переменными.

Определение ОДУ вида или вида называется ОДУ с разделенными переменными.

ЗАМЕЧАНИЕ Решения этих уравнений выписываются в

квадратурах: , .

_____

Определение Функция называется однородной функцией степени , если .

Определение ОДУ вида или вида называется однородным, если соответственно - однородная функция нулевой степени, - однородные

функции одинаковой степени.

ЗАМЕЧАНИЕ Однородное ОДУ преобразуется в ОДУ с

разделяющимися переменными, если зависимую переменную

заменить на по формуле .

_____

Определение Дифференциальное уравнение вида называется ОДУ в полных дифференциалах, если функции имеют непрерывные частные производные и .

ЗАМЕЧАНИЕ ОДУ в полных дифференциалах решается в

квадратурах. Последнее условие равносильно существованию функции

с дифференциалом . Тогда общий интеграл имеет

вид .

_____

Определение ОДУ вида , где функции заданы и непрерывны, называется уравнением Бернулли, если и линейным уравнением (ЛДУ) в противном случае.

ЗАМЕЧАНИЕ Эти ОДУ решается методом вариации

произвольной постоянной. 1) Сначала решается ОДУ с

разделяющимися переменными .

2) Решение исходного уравнения ищем в виде

, считая в предыдущем решении произвольную

постоянную зависящей от (говорят: варьируя произвольную

постоянную ). Для нахождения подставим это решение в

исходное уравнение: .

После сокращения получаем уравнение с разделяющимися

переменными для нахождения .

____

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Решение ОДУ второго порядка вида

сводится к решению ОДУ первого порядка с помощью

замены .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Решение ОДУ второго порядка вида

сводится к решению ОДУ первого порядка с помощью замены

на зависимую переменную .

_____

Определение Нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (НСОДУ) называется система вида

где функции непрерывны на открытом множестве , а последовательность неизвестных функций называется решением системы. Число называется порядком НСОДУ.

Определение Если - решение НСОДУ в окрестности точки , то кривая в называется интегральной кривой.

Определение Пусть . Задачей Коши для НСОДУ с начальными условиями называется задача нахождения решения системы в окрестности точки , которое удовлетворяет этим условиям.

Пример Решение задачи Коши для ОДУ го порядка с начальными условиями равносильно нахождению решения задачи Коши для НСОДУ

с начальными условиями .

Определение Функция удовлетворяет условию Липшица по переменным на множестве , если

ТЕОРЕМА 7.1 Пусть функции

непрерывны на открытом множестве и удовлетворяют

условию Липшица по на любом замкнутом ограниченном

подмножестве в . Тогда в окрестности точки

существует единственное решение задачи Коши для

НСОДУ с начальным условием . Если

отказаться от условия Липшица, то решение задачи Коши

существует, но оно, вообще говоря, неединственное.

Определение Нормальной системой линейных дифференциальных уравнений (НСЛДУ) называется система вида

или в матричной форме где - искомое решение на ; ; - матрица непрерывных на коэффициентов; - матрица непрерывных на свободных членов.

Определение НСЛДУ называется однородной, если , и неоднородной в противном случае.

Определение Последовательность решений однородной НСЛДУ называется фундаментальной системой, если векторы линейно независимы. Определитель и матрица

называются соответственно вронскианом и фундаментальной матрицей (матрицей Вронского) НСЛДУ.

Последняя есть пример функциональной матрицы.

Определение Производной функциональной матрицы

называется функциональная матрица ; интегралом функциональной матрицы на отрезке называется числовая матрица .

ТЕОРЕМА 7.2 (Свойства решений НСЛДУ)

1) существует единственное решение на

задачи Коши с начальным условием .

2) Систем решений фундаментальна на отрезке

тогда и только тогда, когда ;

3) Если система решений фундаментальна на , то

общее решение однородной НСЛДУ имеет вид

4) Если - какое-либо (частное) решение неоднородной НСЛДУ,

то общее (любое) решение этой НСЛДУ имеет вид

где - фундаментальная система.

5) если известна фундаментальная система , то частное

решение неоднородной НСЛДУ можно вычислить по формуле

, а решение задачи Коши с начальным

условием - по формуле Коши

, где .

Определение Если - фундаментальная матрица НСЛДУ, то матрица называется переходной (импульсной) матрицей этой системы.

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Переходная матрица является решением задачи

Коши для матричного уравнения с функциональной

матрицей размера и начальным условием ,

где есть единичная матрица.

2) Переходная матрица не зависит от выбора фундаментальной системы и

полностью определяется матрицей коэффициентов НСЛДУ.

3) В терминах переходной матрицы формула Коши принимает вид

_____

Определение Линейным дифференциальным уравнением -го порядка (ЛДУ) называется ОДУ вида

, (1)

где функции непрерывны на . ЛДУ называется однородным, если и неоднородным в противном случае.

Определение Последовательность решений однородно ЛДУ -го порядка называется линейно независимой на , если в каждой точке векторы линейно независимы.

Определение Последовательность линейно независимых на решений однородного уравнения называется фундаментальной.

Определение Определителем Вронского и фундаментальной матрицей однородного ЛДУ называются соответственно

где есть последовательности линейно независимых решений.

ТЕОРЕМА 7.3 (свойства решений ЛДУ -го порядка)

1) задача Коши с начальным условием

имеет единственное решение на .

2) Решения однородного ЛДУ линейно независимы на

тогда и только тогда, когда .

3) Если - фундаментальная последовательность

решений однородного ЛДУ, то любое (общее) его решение имеет

вид

4) Если -какое-либо решение ЛДУ (1) и - фундамен

тальная последовательность решений, то любое (общее) решение

ЛДУ можно записать в виде .

_____

Определение Матрицы называются подобными, если существует невырожденная матрица (матрица перехода от к ) со свойством .

Определение Если к множеству собственных векторов,

соответствующих собственному числу добавить нулевой вектор,

то получим подпространство пространства в . Его

называют подпространством собственных векторов.

Цель параграфа - обосновать подобные рассуждения в общем случае.

Определение Если - собственный вектор, соответствующий собственному числу , то ым присоединенным вектором матрицы к называется вектор со свойством .

Определение Последовательность собственного и присоединенных к нему векторов называется жордановой цепочкой длины матрицы . ЗАМЕЧАНИЕ Пусть собственные векторы, образующие жордановы цепочки , линейно независимы и порождены одним и тем же собственным числом . Тогда все векторы, составляющие эти цепочки, линейно независимы.

В силу сделанного замечания жорданова цепочка имеет длину . Из импликации следует такая цепь вложений

Так как каждый ненулевой вектор из является собственным или присоединенным (высотой ), то есть входит в какую-то цепочку, то эти пространства, начиная с некоторого , обязаны совпадать.

Определение Наименьшее число , начиная с которого все подпространства совпадают, называется показателем нильпотентности матрицы , а подпространство - корневым подпространством матрицы .

ЗАМЕЧАНИЕ Корневое подпространство является инвариант

ным относительно матричного оператора:

и образовано из нуля и всех собственных и присоединенных

векторов, соответствующих собственному числу .

_____

Определение Система цепочек J называется жордановым базисом корневого подпространства .

ЗАМЕЧАНИЕ По построению J есть число жордановых

цепочек длины . Оно вычисляется по формуле

. ( 1 )

Общее число цепочек, составляющих базис J равно

_____

Определение Суммой подпространств векторного пространства называется множество

Из определения следует такое

ЗАМЕЧАНИЕ - подпространство.

Определение Сумма ненулевых подпространств называется прямой, если .

Обозначение .

Определение Квадратную матрицу , элементами которой являются многочлены , можно представить в виде матричного многочлена , где - матрица-коэффициент при . Если , то называется матричным многочленом n-ой степени.

Определение Многочлен называется аннулирующим многочленом матрицы , если многочлен от матрицы равен нулевой матрице: .

ЗАМЕЧАНИЕ (теорема Гамильтона-Кели) Характеристический

многочлен матрицы является ее аннулирующим

многочленом.

СЛЕДСТВИЕ Если - показатель нильпотентности матрицы

, где есть нуль порядка характеристического

многочлена матрицы , то .

ТЕОРЕМА 7.4 Пусть есть

характеристический многочлен матрицы , - показатель ниль

потентности матрицы и - жорданов базис корневого

подпространства . Тогда

(= )

и есть базис в (в ), если все собственные

числа вещественные (не все вещественные).

Определение Построенный в теореме базис называется жордановым базисом матрицы .

Определение Матрица есть матрица оператора умножения на в естественном базисе пространства ( ). Найдем матрицу этого оператора в жордановом базисе. Столбцы искомой матрицы по определению составлены из коэффициентов разложения элементов вида или вида в жордановом базисе. Поэтому искомая матрица образована матрицами вида

, ( 2 )

размер которых совпадает с длиной цепочки, в которую входит . Эти матрицы «нанизаны» на главную диагональ, а элементы вне этих матриц равны нулю. Так построенная квазидиагональная матрица называется жордановой нармальной формой (ЖНФ) матрицы и обозначается . Матрицы вида (2) называются -жордановыми клетками соответствующего порядка.

_____

Определение Переход от жордановой нормальной формы с комплексными элементами и матрицей перехода к вещественным матрицам и называется операцией овеществления жордановой нормальной формы.

ЗАМЕЧАНИЕ (решение НСЛДУ с постоянными коэффициентами методом расщепления) Пусть требуется найти общее решение НСЛДУ . Подставляя в систему и делая замену , получаем новую НСЛДУ . Эта система распадается на более простые независимые НСЛДУ в количестве, равном числу клеток Жордана матрицы . Число таких подсистем, вообще говоря, уменьшится, если мы овеществим ЖНФ.

______

Интерполяционные многочлены понадобятся для получения формулы Коши решения НСЛДУ с постоянными коэффициентами. Сплайны же естественно излагать вместе с интерполяционными многочленами.

Определение Задачей простой интерполяции на последовательности попарно различных узлов называется задача нахождения многочлена , принимающего в этих узлах наперед заданные значения .

ЗАМЕЧАНИЕ Многочленом наименьшей степени, решающим задачу простой интерполяции, является интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

где .

Определение Задачей кратной интерполяции на последовательности попарно различных узлов с кратностями соответственно называется задача нахождения многочлена , принимающего в этих узлах вместе со своими производными до порядка включительно наперед заданные значения .

ЗАМЕЧАНИЕ Многочленом наименьшей степени , решающим задачу кратной интерполяции, является интерполяционный многочлен в форме Эрмита , где

_____

Определение Сеткой с узлами на отрезке называется разбиение .

Определение Сплайном степени на сетке называется функция , имеющая на непрерывные производные до -го порядка включительно, которая совпадает на каждом отрезке с каким-либо многочленом степени и хотя бы на одном отрезке – с многочленом степени .

Пример 1 - линейный сплайн. Его график есть ломаная.

Пример 2 - кубический сплайн. Он является дважды непрерывно дифференцируемой на функцией, а его график составлен из кубических парабол.

АЛГОРИТМ (построения кубического сплайна)

1) Заданы узлы, соответствующие значения в узлах и два дополнитель ных значения первой или второй производной на каком-либо из концов. .

2) Обозначим . Тогда из определения кубического сплайна следует

Неизвестные находим из условий : .

Подставляя их в , получаем рабочую формулу

3) Из условий , получаем основную СЛАУ

c уравнениями и неизвестными . Добавляем к ним два уравнения со значениями .

4) Решаем полученную СЛАУ, и решение подставляем в рабочую формулу

Определение Кубический сплайн называется естественным, если два дополнительных условия имеют вид , и периодическим, если они имеют вид и .

_____

Ниже нам понадобятся некоторые определения и результаты из функционального анализа.

Определение Последовательность элементов нормированного пространства называется сходящейся к элементу , если . Последовательность элементов называется фундаментальной, если .

ЗАМЕЧАНИЕ Каждая сходящаяся последовательность фундаментальна. Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение Нормированное пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится, называется полным (банаховым).

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Пространство матриц со скалярным произведением является полным.

2) Пусть есть целая функция. Тогда ряд сходится в пространстве .

Определение Для целой функции отображение определяемое по правилу , называется функцией от матрицы.

_____

Определение Аннулирующий многочлен матрицы, который имеет наименьшую степень и коэффициент при старшей степени, называется минимальным.

ЗАМЕЧАНИЕ Если - показатель нильпотентности матрица , то минимальный аннулирующий многочлен равен . Его можно находить по формуле , где есть наибольший общий делитель всех алгебраических дополнений матрицы .

Определение Спектром матрицы называется последовательность нулей ее минимального аннулирующего многочлена .

Определение Целые функции совпадают на спектре матрицы , если .

ТЕОРЕМА 7.5 1) (теорема Сильвестра) Если , то

где – интерполяционный многочлен Эрмита с узлами и значениями .

2) Если - ЖНФ матрица и есть матрица перехода от к , то .

3) Для ЖНФ имеет место формула

4) Для жордановой клетки имеет место формула

ЗАМЕЧАНИЕ Пункты 2)-4) дают алгоритм построения экспоненты от матрицы .

Понятие экспоненты от матрицы позволяет вывести формулу Коши для НСЛДУ с постоянными коэффициентами.

ТЕОРЕМА 7.6 (решение задачи Коши для НСЛДУ с постоянными коэффициентами) Пусть в НСЛДУ квадратная числовая матрица имеет размер , а элементы матрицы непрерывны на . Тогда:

1) матрица является переходной матрицей НСЛДУ, то есть фундаментальной со свойством ;

2) общее решение однородной НСЛДУ ;

3) решение задачи Коши для однородной НСЛДУ имеет

вид ;

4) решение задачи Коши для неоднородной НСЛДУ имеет

вид

_____

Определение Сеткой с шагом и узлами называется разбиение отрезка точками . Сеточной функцией называется функция, определенная в узлах .

Пусть правая часть ОДУ имеет непрерывные в точке . Тогда по формуле Тейлора в окрестности точки для решения задача Коши:

, имеем

Последнее равенство подводит к такому определению.

Определение Методом Эйлера приближенного решения задачи Коши на сетке называется нахождение сеточной функции по формулам

ЗАМЕЧАНИЕ Локальная погрешность метода Эйлера – это погрешность на одном шаге, и она равна . Глобальная погрешность – это величина . Для метода Эйлера она равна .

Определение Методом Рунге-Кутта приближенного решения задачи Коши , на сетке называется нахождение сеточной функции по формулам

, где ,

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Локальная погрешность метода Рунге-Кутта на одном шаге равна . Глобальная погрешность равна .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Метод Рунге-Кута содержится, например, в пакете Matlab.

_____

Определение НСОДУ вида или в матричной форме , где отображение определено на открытом множестве , называется динамической (автономной) системой (ДС).

ЗАМЕЧАНИЕ Предполагаем, что функции , удовлетворяют условию Липшица на любом замкнутом ограниченном множестве . Тогда по теореме 7.1 задача Коши с начальными данными имеет единственное решение.

Определение Множества точек в называются траекториями, а пространство - фазовым пространством.

ЗАМЕЧАНИЕ В силу теоремы единственности траектории между собой не пересекаются. Траектории, определяемые решениями , совпадают.

Определение Постоянное решение динамической системы называется положением равновесия.

ЗАМЕЧАНИЕ Из определения следует, что точка является положением равновесия динамической системы тогда и только тогда, когда она является решением системы .

Определение Решение динамической системы называется периоди ческим, а соответствующая траектория в - замкнутой (циклом), если .

ЗАМЕЧАНИЕ Если траектория динамической системы сама себя пересекает хотя бы в одной точке, то она необходимо является либо положением равновесия, либо циклом (в силу теоремы единственности).

Определение Множество траекторий динамической системы называется ее фазовым портретом.

Определение Цикл ДС называется предельным, если во множестве траекторий, проходящих через точки, достаточно близкие к этому циклу, нет замкнутых траекторий.

Определение Цикл называется устойчивым (притягивающим),если он является асимптотой для всех траекторий, проходящих через достаточно близкие к этому циклу точки, при . Цикл называется неустойчивым (отталкивающим), если он является асимптотой для всех близких траекторий при .

Существуют альбомы фазовых портретов динамических систем.

_____

Напомним, что .

Определение Пусть для НСОДУ выполнено условие теоремы единственности на множестве точек таких, что . Решение называется устойчивым по Ляпунову, если с условием решение задачи Коши с начальным условием удовлетворяет условию: . Если кроме того , то решение называется асимптотиче ски устойчивым.

ЗАМЕЧАНИЕ Устойчивость решения для НСОДУ равносильна устойчивости нулевого решения для НСОДУ

СЛЕДСТВИЕ Произвольное решение НСЛДУ устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво нулевой решение однородного уравнения

Определение Однородное ЛДУ с постоянными коэффициентами называется устойчивым, если решение соответствующей задачи Коши ограничено на и

ТЕОРЕМА 7.7 (устойчивость ДУ)

1) Положение равновесия однородной НСЛДУ с постоянными коэф фициентами устойчиво тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы имеют неположительные вещественные части, а для чисто мнимых собственных чисел выполняется равенство .

2) В условиях предыдущего пункта положение равновесия асимпто тически устойчиво тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные части.

3) (критерий Рауса-Гурвица) Однородное ЛДУ с постоянными коэффициен тами устойчиво тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы положительны:

Определение Пусть - решение НСОДУ , которое назовем опорным (рабочим). Для "близкого" решения положим . Разложим функции в окрестности по формуле Тейлора

или в матричной форме

Тогда

Отбрасывая последнее слагаемое, получим НСЛДУ

которая называется линеаризацией НСОДУ в окрестности опорного решения .

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть - положение равновесия динамической системы , то есть , Тогда , , и потому линеаризацией динамической системы в окрестности положения равновесия будет НСЛДУ с постоянными коэффициентами. Решение последней находится по формуле Коши.

ТЕОРЕМА 7.8 Пусть - положение равновесия НСОДУ , то есть . 1) (теорема Ляпунова) Если линеаризация в окрестности этого положения имеет постоянную матрицу коэффициентов