ГЛАВА 8 РЯДЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Определение Внешней мерой Лебега множества называется точная нижняя грань сумм длин конечного или счетного множества интервалов, покрывающих .

ЗАМЕЧАНИЕ Внешняя мера открытого множества совпадает с его длиной, так как точная нижняя грань достигается на самом . Аналогичное утверждение верно для замкнутых множеств.

Определение Внутренней мерой Лебега множества называется число .

ЗАМЕЧАНИЕ Каждое ограниченное множество имеет конечные внешнюю и внутреннюю меры, причем .

Определение 1 Ограниченное множество называется измеримым (по Лебегу), если . В этом случае мерой Лебега множества называется число .

Естественным расширением класса измеримых замкнутых и открытых множеств является следующее

Определение Множество называется борелевским, если оно представимо в виде конечного или счетного объединения или пересечения интервалов или отрезков (в любом порядке).

ЗАМЕЧАНИЕ (свойства измеримых множеств)

1) ( -аддитивность семейства множеств) Семейство измеримых множеств замкнуто относительно операций взятия конечных и счетных объединений и пересечений.

2) ( -аддитивность меры) Если множества измеримы и попарно не пересекаются, то .

3) Всякое измеримое множество представимо в виде объединения борелевского множества и множества меры 0, не каждое измеримое множество будет борелевским.

4) Если измеримо, а , то множества измеримы и .

Определение 2 Множество называется измеримым если измеримо и .

Определение Говорят, что какое-то свойство выполняется почти всюду на множестве, если оно выполняется во всех его точках за исключением подмножества точек меры 0.

_____

Определение Функция на отрезке , называется измеримой, если она конечно почти всюду на и измеримо множество .

ЗАМЕЧАНИЕ (свойства измеримых функций)

1) Если функция измерима, то измерима и функция . Обратное, вообще говоря, неверно, как показывает пример функции .

2) Если функции измеримы, то измеримы функции , , причем в последнем случае предполагается, что .

3) Пусть последовательность измеримых на функций сходится почти всюду к почти всюду конечной на функции . Тогда измерима на и найдется измеримое подмножество с мерой , на котором сходится к равномерно (теорема Егорова).

4) Если последовательность измеримых на функций сходится почти всюду к почти всюду конечной на функции , то она сходится к по мере: .

Обратное, вообще говоря, не верно. Однако, если последовательность измеримых функций сходится к по мере, то подпоследователь ность сходится к почти всюду на (теорема Рисса).

5) Измеримая функция совпадает почти всюду с пределом последовательности многочленов (Фреше).

_____

Определение 1 Пусть измерима и ограничена на , , . Разобьем отрезок точками ,

и обозначим измеримые множества .

Выберем произвольно точки , и образуем интегральную сумму . Тогда предел ( можно показать, что он существует) называется интегралом Лебега функции , а сама функция – суммируемой (интегрируемой по Лебегу) на отрезке .

Определение 2 Пусть теперь измерима и не ограничена на . Определим ограниченные измеримые функции

Интегралом Лебега функции на называется величина

если последние пределы существуют и конечны. При этом суммируемой (интегрируемой по Лебегу) на отрезке .

ЗАМЕЧАНИЕ При таком определении не всякая измеримая функция будет суммируемой, а только такая, для которой существуют и конечны пределы .

Определение 3 Пусть теперь определена на и суммируема на каждом . Положим

Если существуют и конечны пределы , то

величина

называется интегралом Лебега функции на .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Аналогично определяется , а интеграл

если слагаемые интегралы существуют и конечны.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Интеграл Лебега определяется так же на измеримом множестве . В этом случае он обозначается .

ЗАМЕЧАНИЕ 3 Аналогично определяются измеримые множества и функции в -мерном евклидовом пространстве и кратные интегралы Лебега.

ЗАМЕЧАНИЕ 4 (свойства интеграла Лебега)

1) Измеримая функция суммируема тогда и только тогда, когда суммируема .

2) Если интегрируема по Риману на , то она измерима, интегрируема по Лебегу и эти интегралы равны. интегрируема по Риману на тогда и только тогда, когда она ограничена на и непрерывна почти всюду на нем (Лебег).

3) Если функции суммируемы и совпадают почти всюду на измеримом множестве (-эквивалентные функции), то .

4) для любых суммируемых функций на измеримом множестве .

5) Если функции суммируемы и , то .

6) Для измеримого множества .

7) Пусть , множества измеримы и

функция суммируема на . Тогда .

8) (теорема Лебега) Если последовательность измеримых на измеримом множестве функций сходится по мере к , , где суммируема на , то функции суммируемы и

____

Определение Определенная на функция называется абсолютно непрерывной, если и любой системы попарно непересекающихся интервалов со свойством имеет место неравенство .

ЗАМЕЧАНИЕ (свойства абсолютно непрерывных функций)

1) Абсолютно непрерывная функция непрерывна на . Обратное, вообще говоря, неверно.

2) Если удовлетворяет условию Липшица на отрезке , то она абсолютно непрерывна на нем.

3) Если функции абсолютно непрерывны, то абсолютно непрерывны функции (в последнем случае функция не должна иметь нулей на ).

4) Абсолютно непрерывная функция имеет производную почти всюду на , причем суммируема. Обратно, интеграл с переменным верхним пределом от суммируемой функции есть функция абсолютно непрерывная, причем почти всюду совпадает с .

5) (геометрический смысл) Непрерывная на функция будет абсолютно непрерывной тогда и только тогда, когда кривая спрямляема и , где интеграл понимается в смысле Лебега.

_____

Определение Измеримая на измеримом множестве функция называется суммируемой со степенью ( ), если функция суммируема на .

ЗАМЕЧАНИЕ (свойство суммируемых со степенью функций) 1) суммируемая со степенью будет суммируемой со степенью .

2) Для любых суммируемых со степенью функций функция тоже суммируема со степенью .

3) (неравенство Минковского) Для любых суммируемых со степенью функций .

4) (неравенство Гельдера) ,

если суммируема со степенью , а - со степенью .

Обозначение Разобьем множество всех суммируемых со степе нью на функций на классы эквивалентных функций. Интегралы представителей одного класса совпадают, и согласно замечанию множество этих классов удовлетворяет аксиомам векторного пространства.

Определение -пространство суммируемых со степенью функций. - пространство суммируемых функций.

ЗАМЕЧАНИЕ (свойства пространства )

1) Величина является нормой в , а нормированное пространство является полным и значит банаховым.

2) Если последовательность сходится в среднем со степенью к , то есть , то она сходится к по мере. Обратное, вообще говоря, не верно.

3) является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения , то есть оно является банаховым пространством относительно нормы .

4) Множество многочленов всюду плотно в :

_____

Определение Комплексным евклидовым пространством называется пара , состоящая из векторного пространства над полем комплексных чисел, и билинейной формы со свойствами: 1) , 2) .

ЗАМЕЧАНИЕ Скалярное произведение определяет на норму .

Определение Последовательность элементов называется ортонормирован ной, если ее элементы попарно ортогональны: , и нормированным: , то есть .

Определение Пусть -ортонормированная последовательность в евклидовом пространстве . Числа , называются коэффициентами Фурье элемента по системе .

Определение Сумма называется -ой частичной суммой, а ряд - рядом Фурье элемента .

Определение Член называется -ой гармоникой тригонометрического ряда .

Если положить и определить угол из системы , то -ю гармонику можно записать в виде .

Определение Пусть

есть тригонометрический ряд Фурье -периодической функции . Последовательность или называется спектром периодической функции ; - амплитудой -ой гармоники; - фазой -ой гармоники. - основная частота; - -ая гармоническая частота. - основная круговая частота; - -ая круговая частота функции .

ТЕОРЕМА 8.1 (свойства сходимости ряда Фурье по норме)

1) Пусть ортонормированная последовательность в вещественном евклидо вом пространстве . Для каждого элемента существует единственный "многочлен" степени , отклонение которого от элемента будет наименьшим: .

2) Для каждого элемента гильбертова пространства его ряд Фурье сходится по норме . Для того, чтобы он сходился к самому элементу, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство Парсеваля .

3) Для каждой функции ее тригонометрический ряд

сходится к по норме.

СЛЕДСТВИЕ Для каждой функции равенство

Парсеваля принимает вид .

Определение Пусть суммируема на некоторой окрестности точки . Говорят, что удовлетворяет условию Дини в этой точке, если существует интеграл в смысле Лебега

ЗАМЕЧАНИЕ Дифференцируемая в точке функция удовлетворяет условию Дини, а непрерывная в этой точке - вообще говоря, нет.

ТЕОРЕМА 8.2 (свойства поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье)

1) Если суммируема на отрезке и удовлетворяет условию Дини в точке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в этой точке к . Существует суммируемая функция, ряд Фурье которой сходится всюду на (Колмогоров).

2) (Лузин-Карлесон) Для каждой функции ее тригонометри ческий ряд сходится к почти всюду на .

3) Пусть функция -периодическая на всей оси, имеет разрывы только первого рода и имеет правые и левые производные в каждой точке. Тогда ее тригонометрический ряд Фуре в каждой точке сходится к числу .

4) В условиях предыдущего пункта представима в этом же смысле в виде ряда Фурье в комплексной форме , причем и коэффициенты связаны равенством .

5) Если функция четная (нечетная) на и удовлетворяет условиям пункта 4), то , то есть она разлагается в ряд по косинусам (по синусам) на оси. При этом

6) Пусть функция -периодическая и непрерывная на всей оси. Тогда существует тригонометрический многочлен со свойством (Вейерштрасс). Существует непрерывная на функция, тригонометрический ряд Фурье которой расходится во всех точках из (Колмогоров).

7) Если функция абсолютно непрерывна на , , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится к равномерно на всей оси.

_____

Определение Пусть . Можно показать, что интеграл , , сходится. Он называется преобразованием Фурье функции .

ЗАМЕЧАНИЕ 1) (физический смысл) Если рассматривается как аналоговый сигнал (например, электрический) и , то преобразование Фурье называется непрерывным (интегральным) спектром этого сигнала, а его энергия пропорциональна норме . При этом область опреде ления сигнала называется временной областью, а область определения спектра - частотной областью.