Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных

Необходимое условие экстремума. Если точка является точкой экстремума функции то

или хотя бы одна из этих производных не существует.

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными или критическими. Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума.

Введем обозначения

Достаточное условие экстремума. Пусть функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку . Тогда:

1) если то точка является точкой экстремума для данной функции, причем будет точкой максимума при и точкой минимума при ;

2) если то в точке экстремума нет;

3) если то экстремум может быть, а может и не быть.

В третьем случае необходимы дополнительные исследования.

Рассмотрим пример.

Исследовать на экстремум функцию

Так как в данном случае и всегда существует, то для нахождения стационарных точек получим систему уравнений

Таким образом, получены две стационарные точки

Находим

Тогда

В точке величина т.е. в этой точке экстремума нет. В точке величина

следовательно, в этой точке данная функция достигает локального минимума

Дифференцируемая функция в ограниченной замкнутой области достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо в стационарной точке, лежащей внутри области либо на границе этой области. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо найти все критические точки, лежащие внутри данной области и на ее границе, вычислить значения функции в этих точках, а также во всех остальных точках границы, а затем путем сравнения полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее из них.