Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом множестве

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция аргументы которой удовлетворяют условию называемому уравнением связи.

Точка называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности удовлетворяющих условию выполняется неравенство

На рисунке изображена точка условного максимума которая не является точкой безусловного экстремума функции так как такой точкой будет

Рис. 36

Замкнутое множество

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи удалось разрешить относительно одной из переменных, например, выразить через Подставив полученное выражение в функцию двух переменных, получим т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции

Рассмотрим пример. Найти точки максимума и минимума функции

при условии

Выразим из уравнения переменную через переменную и подставим полученное выражение

в функцию Получим

или

Эта функция имеет единственный минимум при Соответствующее значение функции

Таким образом, точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи оказалось линейным, поэтому легко удалось разрешить относительно одной из переменных. В более сложных случаях сделать это не удается.