Экстремум функции. Возрастание и убывание функции

Функция называется возрастающей в точке если при любом достаточно малом выполняется условие

Функция называется убывающей в точке если при любом достаточно малом выполняется условие

Функция называется возрастающей в интервале если для любых двух точек из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Функция называется убывающей в интервале если для любых двух точек из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Признаки возрастания и убывания функции:

1) Если то функция возрастает в точке

2) Если то функция убывает в точке

Значение называется максимумом функции , если при любом достаточно малом выполняется условие

Точка называется в этом случае точкой максимума функции

Значение называется минимумом функции если при любом достаточно малом выполняются условия

Точка называется в этом случае точкой минимума функции

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка максимума или минимума функции называется точкой ее экстремума.

Необходимое условие экстремума: если функция в точке имеет экстремум, то производная обращается в нуль или не существует.

Точка в которой называется стационарной точкой. Точки, в которых

не существует, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума:

1) Если критическая точка функции и при произвольном достаточно малом

выполняются неравенства

то функция в точке имеет максимум; если же

то функция в точке имеет минимум. Если знаки

одинаковы, то функция в точке экстремума не имеет.

2) Если

то функция в точке имеет экстремум, а именно максимум, если и минимум, если

3) Пусть

В этом случае функция имеет в точке экстремум, если четное число, а именно, максимум при и минимум при Если нечетное число, то функция в точке экстремума не имеет.

Рассмотрим пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции

Найдем производную данной функции, приравняем к нулю, полученное уравнение решим относительно переменной и таким образом определим критические точки, определим знак производной на каждом из участков, разделенных критическими точками

Критические точки делят область определения функции на участки возрастания и убывания. Определим знак производной функции на этих участках:

следовательно, на участке функция возрастает;

следовательно, на участке функция убывает;

следовательно, на участке функция возрастает.

Рассмотрим пример. Исследовать на экстремум функцию

Найдем производную данной функции, приравняем к нулю и решим полученное уравнение относительно переменной таким образом, получим критические точки, определим, какие из них являются точками экстремума.

Критическая точка делит всю область определения функции на участки возрастания и убывания. Определим знак производной на каждом из участков:

следовательно, на участке функция убывает;

следовательно, на участке функция возрастает.

Таким образом, слева от точки функция убывает, а справа от точки функция возрастает, согласно первому достаточному условию экстремума можно сделать вывод, что в точке функция имеет минимум