Производная обратной, параметрически заданной функции

Пусть функция является обратной для функции Если функция имеет в точке производную то обратная функция также имеет в соответствующей точке производную, причем

Геометрический смысл производной обратной функции заключается в том, что производная обратной функции равна тангенсу угла наклона касательной в точке к оси

Рассмотрим пример. Найдем производную функции Данная функция является обратной для функции

Так как

то

Но

следовательно

Пусть даны две функции

одной независимой переменной определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Если строго монотонна, то обратная к ней функция также непрерывна и строго монотонна. Поэтому можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной посредством переменной называемой параметром

В этом случае говорят, что функция от задана параметрически с помощью уравнений

Предположим, что функции имеют производные, причем на некотором промежутке, следовательно

Применим теорему о производной сложной функции

Получим Следовательно

или

Рассмотрим пример. Найдем производную функции

.

Применив формулу, получим