Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

Теорема Ферма: пусть функция определена на интервале и в некоторой окрестности точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е.

Предположим, что функция в точке имеет наибольшее значение, т.е.

для любого Это значит, что

для любой точки . Поэтому, если

,

то

и, следовательно,

если

,

то

и, следовательно,

т.е. правая производная в точке неположительная, а левая – неотрицательная. По условию, существует и значит,

Это возможно только если

,

но тогда и

Замечание: теорема неверна, если функцию рассматривать на отрезке , так как производная на концах отрезка не обращается в нуль.

Теорема Ролля: пусть на отрезке определена функция причем:

1) непрерывна на отрезке

2) дифференцируема на интервале

3) .

Тогда существует точка в которой .

Так как функция непрерывна на отрезке то она имеет на этом отрезке максимальное и минимальное значение, т.е. существуют такие точки что

и выполняются неравенства

Рассмотрим два случая: 1) 2)

В первом случае Следовательно, производная равна нулю в любой точке отрезка

Во втором случае следовательно, хотя бы одно из двух значений, или , не принимается на концах отрезка, т.е. существует точка принадлежащая интервалу в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале В этом случае, так как дифференцируема в точке то следует, что

Теорема Лагранжа: пусть на отрезке определена функция причем:

1) непрерывна на отрезке

2) дифференцируема на интервале

Тогда существует точка такая, что справедлива формула

Замечание: величина

является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки графика функции а угловой коэффициент касательной к графику в точке

Теорема Коши: пусть функции и непрерывна на отрезке и дифференцируемы на интервале Пусть кроме того, Тогда существует точка такая, что справедлива формула