Предел функции. Односторонние пределы

Пусть функция определена на некотором множестве и пусть точка

или

Возьмем из последовательность точек, отличных от

сходящихся к Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Число называется пределом функции в точке если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента отличных от соответствующая последовательность

значений функции сходится к числу

Функция может иметь в точке только один предел.

Число называется пределом функции в точке если для любого числа существует число такое, что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Первое и второе определение предела эквивалентны.

Односторонние пределы.

Число называется правым (левым) пределом функции в точке если для любой сходящейся к последовательности

которая больше (меньше) соответствующая последовательность

сходится к

Можно дать другое определение.

Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любого существует число такое, что для всех удовлетворяющих неравенствам

выполняется неравенство

Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам