Числовые последовательности и их роль в вычислительных процессах. Ограниченные и неограниченные последовательности

Числовая последовательность – это функция вида

множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается или Значения называют соответственно первым, вторым, третьим, …. членами последовательности.

Например, для функции можно записать

Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

Последовательность задана аналитически, если задана формула ее го члена

Например, последовательность нечетных чисел

Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность. Например, последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания, т.е. задана последовательность При таком способе задания последовательности трудно ответить, чему равен, например, 100–й элемент последовательности.

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название «рекуррентный способ» происходит от латинского слова – возвращаться. Чаще всего указывают формулу, позволяющую выразить й член последовательности через предыдущие, и задают первые два начальных члена последовательности.

Например, Можно вычислить любой член последовательности Полученная последовательность может быть задана и аналитически

Числовая последовательность – это частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматривается и для последовательностей.

Последовательность называют возрастающей, если каждый ее член (начиная со второго) больше предыдущего

Например, последовательность – возрастающая.

Последовательность называют убывающей, если каждый ее член (начиная со второго) меньше предыдущего

Например, последовательность – убывающая.

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

Предел последовательности – это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера, т.е. это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Строгое определение предела формулируется следующим образом: если существует такое число , что для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное (зависящее от ), что для всех будет выполнено неравенство то говорят, что последовательность сходится и ее предел

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать, наличие предела у гармонической последовательности

Пусть сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое что для всех выполняется неравенство Если взять в качестве любое натуральное число, превышающее , то для всех выполняется неравенство

что и требовалось доказать.

Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела данной числовой последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

1) Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

2) Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

3) Если последовательность имеет предел то последовательности

имеют пределы соответственно ( произвольное число).

4) Если последовательности имеют пределы равные соответственно, то последовательность имеет предел

5) Если последовательности имеют пределы, равные соответственно, то последовательность имеет предел

6) Если последовательности имеют пределы, равные соответственно, и, кроме того, то последовательность имеет предел

Бесконечно малая последовательность – это последовательность, предел которой равен нулю. Бесконечно малые последовательности отличаются рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе и в смежных с ним общих дисциплинах.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

1) Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

2) Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

3) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама является бесконечно малой последовательностью.

4) Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

5) Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

6) Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

7) Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все ее элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

8) Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы – нули.

Последовательность называется бесконечно большой, если предел ее общего члена равен бесконечности.

Если – бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность

которая является бесконечно малой. Если же все же содержит нулевые элементы, то последовательность

все равно может быть определена, начиная с некоторого номера и все равно будет бесконечно малой.

Если – бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность

которая является бесконечно большой. Если же все же содержит нулевые элементы, то последовательность

все равно может быть определена, начиная с некоторого номера и все равно будет бесконечно большой.