Динамика несвободной материальной точки

Как уже говорилось ранее, основной закон динамики для несвободной материальной точки, а следовательно, и ее дифференциальные уравнения движения имеют такой же вид, как и для свободной точки. В этом случае к действующим на точку силам необходимо добавить силы реакций связей.

Пусть материальная точка движется по заданной гладкой неподвижной поверхности, уравнение которой в декартовой системе координат задано выражением . Применяя принцип освобождаемости от связей, и составляя основное уравнение динамики несвободной точки, получим:

,

где — равнодействующая активных сил, действующих на точку, — неизвестная реакция связи, действующая по внешней нормали к поверхности.

Проектируя это уравнение на оси декартовой системы координат, получаем дифференциальные уравнения движения точки по гладкой поверхности:

, ,

Из дифференциальной геометрии известно, что выражение единичного вектора внешней нормали к поверхности определяет вектор – градиент, задаваемый формулой

,

где — модуль вектор – градиента

Поэтому направляющие косинусы вектора и, следовательно, нормальной реакции опоры к поверхности определяются выражениями:

.

С учетом последних формул уравнения движения несвободной точки перепишутся в виде:

где — множитель Лагранжа.

Полученные дифференциальные уравнения — уравнения Лагранжа первого рода для несвободной материальной точки; вместе с уравнением связи позволяют определить четыре неизвестные как функции времени . Алгебраическое значение нормальной реакции находится затем по формуле .

При движении материальной точки по негладкой поверхности, кроме нормальной реакции возникает сила трения , направленная против вектора скорости точки, величину которой можно определить векторным выражением

,

где — предельное значение силы трения, — коэффициент трения.

Дифференциальные уравнения движения точки в этом случае запишутся в виде

При движении точки по заданной гладкой пространственной кривой необходимо учесть, что кривую линию в пространстве можно рассматривать как геометрическое место пересечения двух поверхностей и .

Эти поверхности создадут для движущейся точки две нормальные реакции и , и поэтому полная нормальная реакция пространственной кривой . Дифференциальные уравнения Лагранжа первого рода в этом случае примут вид

где соответственно

Совместно с двумя уравнениями поверхностей получаем пять уравнений для определения пяти неизвестных величин как функции времени.

При движении точки по плоской кривой удобно использовать естественную систему координат. Проектируя векторное уравнение на оси и (касательную и главную нормаль к траектории), получим

Эти уравнения называются уравнениями движения несвободной точки в форме Эйлера. Уравнения движения несвободной точки в форме Эйлера с учётом трения запишутся в виде:

Добавив к ним закон Кулона , будем иметь систему уравнений, достаточную для определения закона движения и сил и .