Быстрота Изменения величины

Среднее значение физической величины изменяется со временем по двум причинам:

1) из-за зависимости оператора величины от времени;

2) из-за некоммутативности оператора величины с гамильтонианом.

Оператор производной по времени. Среднее значение (2.28)

изменяется с быстротой

.

Учитываем уравнение Шредингера (2.54)

,

,

получаем

.

Гамильтониан эрмитовый, тогда первое слагаемое в квадратных скобках равно . Объединяем его с третьим слагаемым

. (2.66)

Выражение в круглой скобке по определению является оператором производной по времени

. (2.67)

Оператор проекции скорости. В (2.67) подставляем

. (2.67а)

Используем

,

,

находим

.

На практических занятии будет получено

,

тогда оператор проекции скорости

(2.67б)

удовлетворяет классическому соотношению между скоростью и импульсом, подтверждая правило соответствия.

Сохраняющаяся величина описывается оператором , удовлетворяющим согласно (2.67) условию

.

Если оператор не зависит от времени , тогда

. (2.68)

Величина сохраняется в любом состоянии, если ее оператор не зависит от времени и коммутирует с гамильтонианом.

Стационарное состояние характеризуется тем, что для произвольной величины a, описываемой оператором , не зависящим от времени , среднее значение постоянно

.

Даже если , то из (2.66)

получаем

. (2.69)

В стационарном состоянии среднее значение от коммутатора оператора с гамильтонианом равно нулю.