ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ

Развитие состояния частицы во времени описывает волновое уравнение Шредингера. Для вывода уравнения используем оператор эволюции, сдвигающий состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве.

Оператор трансляции сдвигает состояние объекта на расстояние а

. (2.44)

Для получения оператора разлагаем в ряд Тейлора

Производную по координате выражаем через оператор импульса , находим

,

где квадратная скобка является разложение в ряд экспоненты. В результате оператор трансляции

. (2.45)

Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения оператора трансляции по параметру смещения вблизи нуля

. (2.46)

Определению (2.46) удовлетворяет

.

Сравнение с (2.45) дает

. (2.47)

Генератором перемещения является импульс.

Оператор эволюции передвигает состояние во времени на τ

. (2.49)

По аналогии с (2.45) записываем

. (2.50)

Знак минус в (2.50) обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля (1.11)

.