Уравнение Шредингера

Для частицы, описываемой гамильтонианом , волновая функция находится из уравнения, которое получил Эрвин Шрёдингер в 1926 г. Если потенциальная энергия не зависит от времени, то полная энергия Е постоянна, зависимости от координат и времени в волновой функции разделяются , где . Функция находится из стационарного уравнения Шредингера.

Правило соответствия. При переходе от классической к квантовой теории физическим величинам сопоставляются эрмитовые операторы. При этом соотношения между динамическими характеристиками сохраняются. Это обеспечивает совпадение результатов теорий при больших значениях квантовых чисел.

Оператор Гамильтона. Гамильтониан частицы в классической теории является суммой кинетической и потенциальной энергий, выраженных через импульсы и координаты:

.

Переходим к операторам

,

,

,

где

– оператор градиента,

– оператор Лапласа.

Получаем оператор полной энергии, или оператор Гамильтона

. (2.53)

Волновое уравнение Шредингера следует из (2.52)

и (2.53) в виде

. (2.54)

Стационарное уравнение Шредингера. Если потенциальная энергия не зависит от времени

,

то полная энергия E сохраняется и состояние системы стационарное. В (2.54) слагаемые с координатами и временем разделены, решение ищем в виде

. (2.55)

Подставляем (2.55) в (2.54), умножаем уравнение слева на , переменные разделяются

.

Левая и правая стороны зависят от разных переменных, поэтому они равны постоянной Е.

В уравнении

разделяем переменные

,

интегрируем и находим

. (2.56)

Для получаем стационарное уравнение Шредингера

. (2.57)

Уравнение (2.57) с учетом является уравнением для собственной функции оператора гамильтона

, (2.58)

следовательно, Е – полная энергия. Если система одномерная, то для из (2.57) получаем

. (2.59)

Стационарное состояние с энергией E имеет вид

. (2.60)

Функция периодически зависит от времени как с частотой, пропорциональной энергии:

. (2.61)

Для свободной частицы при получаем зависимость частоты от волнового числа – закон дисперсии

. (2.61а)

Координатная часть волновой функции стационарного состояниявыражается через вещественные функции – амплитуды A и фазы β

. (2.63)

Плотность вероятности

.