Ток вероятности
Плотность вероятности обнаружения частицы около точки r
зависит от времени. Вероятность обнаружить частицу во всем пространстве неизменна
.
Следовательно, вероятность перетекает из одного места в другое. Вводится плотность тока вероятности и соответствующий оператор.
Умножая плотность тока вероятности j на заряд частицы e, получаем плотность электрического тока
,
вызванного движением частицы. В теории электрического тока многих частиц
,
где – заряд, проходящий за 1с через единичное поперечное сечение проводника; n – концентрация частиц. Тогда плотность тока вероятности для одной частицы
выражается через скорость.
Плотность тока вероятности. Используем оператор скорости
,
где
.
Для частицы в состоянии определяем плотность тока вероятности
, (2.71)
где учтено
.
Вектор выражаем через декартовы компоненты
,
где
. (2.72)
Уравнение непрерывности тока вероятности. Используем
,
.
Из уравнения Шредингера (2.54)
,
,
тогда
.
Используем (2.72)
,
тогда первая круглая скобка равна и аналогично для остальных скобок. В результате получаем уравнение непрерывности
, (2.73)
где divj – дивергенция плотности тока является потоком из единичного объема. Согласно (2.73) поток из объема уменьшает вероятность в этом объеме. Следовательно, уравнение Шредингера описывает систему, у которой нет источников и стоков частиц.
Ток вероятности для частицы с импульсом р в состоянии плоской волны
.
Плотность вероятности
распределена равномерно по всему пространству. В состоянии равномерного движения частица обнаруживается в любой точке пространства с равной вероятностью.
Из (2.72)
находим
,
.
Плотность электрического заряда и тока для частицы с зарядом е равны
,
.
При равномерном движении заряда используем и получаем известное соотношение
.
Из уравнения непрерывности (2.73) следует закон сохранения заряда в дифференциальной форме
.
Ток вероятности в стационарном состоянии. Используем (2.63)
,
где A и β – вещественные, тогда
.
Вычисляем плотность тока вероятности (2.71)
.
Учитываем
,
получаем
.
Используя
, ,
находим
,
,
. (2.74)
Для стационарного состояния волновой вектор равен градиенту фазы волновой функции, плотность тока вероятности пропорциональна плотности вероятности и градиенту фазы волновой функции. Если фаза b в разных точках одинаковая, то , .
Выполняется
.
Для стационарного состояния поток вероятности из любого объема равен нулю.
Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 705;