Вращательное движение материальной точки
Различают два вида вращательного движения материальной точки:
– вращательное движение вокруг неподвижной оси – это движение материальной точки по окружности радиуса R, центр которой лежит на неподвижной относительно данной системы отсчета прямой (ось вращения), перпендикулярной плоскости, в которой лежит траектория точки (рис. 1.6а);
– вращательное движение около неподвижной точки – это движение материальной точки по поверхности сферы радиуса R, центр которой лежит в некоторой неподвижной относительно данной системы точке О (рис. 1.6б).
а)
|
б)
| В этом случае в каждый момент времени материальная точка вращается вокруг так называемой мгновенной оси вра-щения, которая проходит через точку О и изменяет с течением времени свою ориентацию относительно осей координат системы отсчета.
|
| Рис. 1.6
|
Для характеристики вращательного движения вводят угловые кинематические величины: угол поворота; угловую скорость; угловое ускорение.
Пусть материальная точка вращается по окружности радиуса R с центром в точке С (рис. 1.7). Положение материальной точки на окружности в произволь-
Рис.1.7
| ный момент времени t можно охарактеризовать радиус-вектором  , проведенным из некоторой точки О, лежащей на мгновенной оси вращения и выбранной в качестве точки отсчета. Изменение положения материальной точки за промежуток времени dt, то есть ее перемещение  , связано с углом поворота dj радиуса окружности  , скрепленного с материальной точкой. Из рис. 1.7 видно, что
 ,
где  , то есть
 . (1.26)
|
Этому соотношению можно придать векторную форму, если ввести вектор 
– вектор угла поворота, направление которого связано с направлением вращения материальной точки определенным правилом.
Условились для определения этой связи применять правило правого винта: вектор направлять по мгновенной оси вращения в ту сторону, куда будет двигаться винт с правой нарезкой, при вращении его головки в сторону вращения материальной точки (рис 1.7).
Теперь
. (1.27)
Здесь и ниже скобками [ ] обозначено векторное произведение векторов.
Следует отметить, что из-за условности выбора направления угла поворота свойства этого вектора (и ему подобных) существенным образом отличаются от обычных векторов. Поэтому их называют псевдовекторами или аксиальными векторами.
В частности последовательные бесконечно малые повороты, характеризуемые векторами 
и 
, при их сложении дают результирующий поворот , равный
,
то есть подчиняются обычному правилу сложения векторов. Для поворотов, характеризуемых конечными углами 
и 
, их геометрическая сумма не равна результирующему повороту 
, то есть
.
Более того, из наглядного примера (см. рис. 1.8) видно, что
.
Рис. 1.8
Скорость поворота характеризуется с помощью понятия угловой скорости 
в данный момент времени t (мгновенной угловой скорости):
. (1.28)
Вектор мгновенной угловой скорости ориентирован так же, как и ,
вдоль мгновенной оси вращения, и связан правилом правого винта с направлением вращения в данный момент времени. Поэтому является аксиальным вектором (рис. 1.9а,б). При вращении вокруг неподвижной оси вектор направлен вдоль этой оси. При вращении вокруг неподвижной точки изменяет
| 
| свое направление вместе с изменением ориентации мгновенной оси.
Если в процессе вращения угловая скорость является функцией времени, то для характеристики быстроты изменения как по величине, так и по направлению, вводят угловое ускорение:
 . (1.29)
Направление вектора  опреде-
|
| а)
| б)
|
| Рис. 1.9
|
ляется направлением 
в данный момент времени. При вращении материальной точки вокруг неподвижной оси угловое ускорение направлено вдоль этой оси.
При этом 
, 
, 
, если 
.
Выводы: При вращении материальной точки ее движение может описываться с помощью угловых кинематических величин: угла поворота , угловой скорости и углового ускорения , которые являются аксиальными векторами. При вращении вокруг неподвижной оси , и направлены вдоль этой оси. При вращении вокруг неподвижной точки и направлены вдоль мгновенной оси вращения, а сонаправлен с приращением в данный момент времени.
Контрольные вопросы
1.9. Каков смысл вектора 
в соотношении (1.27), если ось вращения изменяет с течением времени свою ориентацию?
1.10. Охарактеризуйте вращательное движение материальной точки, соответствующее условиям: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
, .
Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 1603;
