Радиус-вектор, вектор перемещения

Для описания движения материальной точки в каждый момент времени необходимо указать ее положение относительно выбранной системы отсчета. Для этого с телом отсчета связывают систему координат – способ, с помощью которого задают числа (координаты точки), полностью определяющие положение материальной точки относительно тела отсчета. Важнейшими системами координат являются прямоугольные декартовы системы координат (рис 1.1), в которых положение точки А однозначно определяется ее координатами x, y, z

Рис. 1.1

по отношению к началу координат О, связанному с телом отсчета. Поскольку тело отсчета и материальная точка определяют в пространстве физически выделенное направление OA, то положение материальной точки в данной системе координат (XYZ) можно характеризовать одной векторной величиной – радиус-вектором. Задать радиус-вектор положения материальной точки А – означает: указать, на каком расстоянии от тела отсчета (модуль радиус-вектора ) и в каком направлении относительно выбранных координатных

направлений (полярный – j и азимутальный – q углы) находится материальная точка А.

Из рис. 1.1 непосредственно видно, что проекции радиус-вектора на оси координат определяют координаты материальной точки x, y, z.

Преимущество векторного способа описания проявляется в том, что он компактнее координатного. Однако необходимо четко понимать, что векторный способ описания положения точки требует задания трех чисел: r, j, q так же, как и координатный.

Зная координаты точки x, y, z, нетрудно получить значения r, j, q:

, , , (1.1)

где cosj, cosq – направляющие косинуса радиус-вектора .

Если известны числа r, j, q, то координаты x, y, z частицы определяются соотношениями:

, , . (1.2)

При движении материальной точки ее положение относительно начала координат с течением времени изменяется, а следовательно может изменяться как модуль, так и направление радиус-вектора .

Следовательно, радиус-вектор является функцией времени:

,

или

, , . (1.3)

Эти функции, которые однозначно определяют характер и вид движения частицы, называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. При этом конец радиус-вектора описывает в пространстве линию – траекторию движения.

Изменение положения материальной точки при ее движении из некоторого начального положения в момент времени t, характеризуемого радиус-вектором , в другое положение в момент времени , характеризуемого радиус-вектором , определяется вектором , который называется вектором

Рис. 1.2

перемещения (рис. 1.2). Здесь следует четко понять, что вектор перемещения характеризует результирующее изменение положения материальной точки за промежуток времени , и не содержит в себе информации ни о виде траектории, ни о характере движения по ней. Кроме этого, даже из рисунка следует, что величина перемещения , путь S12, пройденный материальной точкой, и длина дуги траектории l12, заключенной между положениями 1 и 2, в общем случае

различны по величине, то есть

. (1.4)

Выводы: Положение материальной точки в выбранной системе отсчета, характеризуется радиус-вектором. При движении частицы ее радиус-вектор изменяется. Закон этого изменения с течением времени полностью определяет вид траектории частицы и характер движения по ней. Вектор перемещения описывает изменение положения за данный промежуток времени.