Доказательство. Выпишем произведение чисел кратных p,

1) n!=1∙2∙3…p…2∙p…3∙p…kp…n.

Выпишем произведение чисел кратных p,

p∙2p∙3p∙…∙kp = .

а все остальные числа не содержат p.

kp≤n, k≤ ,

k – наибольшее целое не превосходящее . Значит .

2) Повторим рассуждения с k! Тогда выделится , но

и так далее продолжим наши рассуждения до .

Далее будут 0, так как

.

Итак,

.