Доказательство. Одно представление числа равенством (1) получим, взяв bq равным наибольшему кратному числа b, не превосходящему числа a

Одно представление числа равенством (1) получим, взяв bq равным наибольшему кратному числа b, не превосходящему числа a. Допустим, что существует еще одно представление числа a, в указанном ранее виде, то есть

. (2)

Вычтем (2) из (1), получим

(3)

или

. (4)

кратна b. Эта разность, как разность двух неотрицательных чисел, меньших b сама будет численно меньше b и она кратна b. Значит

. (5)

Из (5) и (3) следует, что . Таким образом (1) и (2) тождественны, то есть представление (1) является единственным.