Интеграл типа Коши
- аналитична в , с границей
,
,
Пусть - функция, заданная на границе области , непрерывна
- интеграл типа Коши
Утв. 1. Интеграл типа Коши является аналитической функцией вне .
Доказательство: Покажем, что дифференцируема вне , т.е. показать, что существует предел ,
Формально продифференцируем
- интеграл существует
Значит надо показать, что:
Какой смысл придать выражению?
,
Данный интеграл не существует в обычном смысле
Часть , которая не попадает в круг назовем
Если такого предела нет, то нет и интеграла типа Коши в .
Для каких существует ?
Ответ: достаточно, чтобы была непрерывна по Гёльдеру.
Опр. Функция непрерывна по Гёльдеру с показателем , если
(условие Гёльдера с показателем 1)
.
Если , .
Теорема. Если , то существует интеграл типа Коши , .
Доказательство: Хотим показать, что существует интеграл и на границе
Возьмем кривую , надо доказать, что существует предел (который указан выше)
( - часть окружности , которая не лежит в области )
(применяем формулу Коши к интегралу по )
Докажем, что в обоих интегралах существует предел при .
1) - величина угла, под которым часть окружности видна из точки .
Если - гладкая, то при этот угол стремится к .
2)
Тогда
По признаку Вейерштрасса
Для исходного интеграла имеем
.
Значит
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 924;