Формулы Сохоцкого ( - Племеля)

Рассмотрим предельные значения интеграла типа Коши при приближении к точке с разных сторон.

Пример:

Формулы Сохоцкого связывают между собой , , .

Теорема. Функция (непрерывная при , , )

I.Пусть вначале по некасательным направлениям к

Фиксируем малое

,

(Воспользуемся условием )

(возьмем , чтобы )

( , то )

( , , - непрерывна на )

Вначале выбираем столь малым, чтобы

Затем выбираем столь малым, чтобы

, ч.т.д.

т. е. по некасательным путям.

II.Надо избавится от стремления точки к точке по некасательным путям

Функция непрерывна по , т.к.

интеграл - сходится

(по Т. Вейерштрасса) - непрерывна.

Пусть имеем ,

Пусть ближайшая к точке точка на кривой

Тогда принадлежит углу с вершиной в точке и величиной

Если , то