Вывод формулы
• Воспользовавшись записью первого начала термодинамики в дифференциальной форме (9.2), получим выражение для теплоёмкости произвольного процесса:
• Представим полный дифференциал внутренней энергии через частные производные по параметрам 
и 
:
После чего формулу (9.6) перепишем в виде
Соотношение (9.7) имеет самостоятельное значение, поскольку определяет теплоёмкость 
в любом термодинамическом процессе и для любой макроскопической системы, если известны калорическое и термическое уравнения состояния.
• Рассмотрим процесс при постоянном давлении 
и получим общее соотношение между 
и 
.
Исходя из полученной формулы, можно легко найти связь между теплоемкостями и в идеальном газе. Этим мы и займемся. Впрочем, ответ уже известен, мы его активно использовали в 7.5.
Уравнение Роберта Майера
Выразим частные производные в правой части уравнения (9.8), с помощью термического и калорического уравнений, записанных для одного моля идеального газа. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и не зависит от объёма газа, следовательно
Из термического уравнения легко получить
Подставим (9.9) и (9.10) в (9.8), тогда
Окончательно запишем
Вы, надеюсь, узнали (9.11). Да, конечно, это уравнение Майера. Еще раз напомним, что уравнение Майера справедливо только для идеального газа.
9.3. Политропические процессы в идеальном газе
Как отмечалось выше первое начало термодинамики можно использовать для вывода уравнений процессов, происходящих в газе. Большое практическое применение находит класс процессов, называемых политропическими. Политропическим называется процесс, проходящий при постоянной теплоемкости 
.
Уравнение процесса задается функциональной связью двух макроскопических параметров, описывающих систему. На соответствующей координатной плоскости 
уравнение процесса наглядно представляется в виде графика - кривой процесса. Кривая, изображающая политропический процесс, называется политропой. Уравнение политропического процесса для любого вещества может быть получено на основе первого начала термодинамики с использованием его термического и калорического уравнений состояния. Продемонстрируем, как это делается на примере вывода уравнения процесса для идеального газа.
Вывод уравнения политропического процесса в идеальном газе
• Требование постоянства теплоёмкости 
в процессе позволяет записать первое начало термодинамики в виде
• Используя уравнение Майера (9.11) и уравнение состояния идеального газа, получаем следующее выражение для 
• Разделив уравнение (9.12) на T и подставив в него (9.13) придем к выражению
• Разделив ( 
) на 
, находим
• Интегрированием (9.15), получаем
где
Это уравнение политропы в переменных 
Исключая из уравнения ( 
) , с помощью равенства 
получаем уравнение политропы в переменных 
где
Параметр 
называется показателем политропы, который может принимать согласно ( 
) самые разные значения, положительные и отрицательные, целые и дробные. За формулой ( 
) скрывается множество процессов. Известные вам изобарный, изохорный и изотермический процессы являются частными случаями политропического.
К этому классу процессов относится также адиабатный или адиабатический процесс. Адиабатным называется процесс, проходящий без теплообмена ( 
). Реализовать такой процесс можно двумя способами. Первый способ предполагает наличие у системы теплоизолирующей оболочки, способной изменять свой объем. Второй – заключается в осуществлении столь быстрого процесса, при котором система не успевает обмениваться количеством теплоты с окружающей средой. Процесс распространения звука в газе можно считать адиабатным благодаря его большой скорости.
Из определения теплоемкости следует, что в адиабатическом процессе 
. Согласно 
где 
– показатель адиабаты.
В этом случае уравнение политропы принимает вид
Уравнение адиабатного процесса (9.20) называют также уравнением Пуассона, поэтому параметр часто именуют постоянной Пуассона. Постоянная является важной характеристикой газов. Из опыта следует, что ее значения для разных газов лежат в интервале 1,30 ÷ 1,67, поэтому на диаграмме процессов 
адиабата «падает» более круто, чем изотерма.
Графики политропических процессов для различных значений представлены на рис. 9.1.
Рис. 9.1.
На рис. 9.1 графики процессов пронумерованы в соответствии с табл. 9.1.
Таблица. 9.1.
| Номер политропы на рис. 9.1 | Значение показателя политропы | Уравнение политропы (  )
| Название процесса |
|  st
| изобарический | |
| 
| изохорический | |
| 
| изотермический | |
| 
| адиабатический | |
| 
| - | |
| 
| - | |
| 
| - |
Знание показателя политропы позволяет без особого труда рассчитать теплоёмкость системы. Знание теплоёмкости в свою очередь даёт возможность рассчитать количество теплоты, сообщённое макросистеме в данном политропическом процессе. Действительно, из следует
Тогда, бесконечно малое количество теплоты, сообщённое макросистеме в политропическом процессе равно
.
Соответственно полное количество теплоты, полученное системой при изменении её температуры от 
до , определяется простой формулой
Зная 
, можно определить макроскопическую работу 
, совершенную системой в политропическом процессе, с помощью уравнения первого начала в интегральной форме и формулы 
Таким образом, мы можем получить исчерпывающую информацию об энергообмене системы с окружающей средой.
Теперь уместно поставить следующие вопросы. Что делать, если процесс не политропический? Можно ли глядя на график процесса, догадаться, что это не политропа?
Иногда можно. Взгляните на рис. 9.2. Это уж точно не политропы.
Рис. 9.2.
Для подобных процессов количество теплоты рассчитать не так просто как в случае политропных процессов 
так как теплоёмкость системы будет зависеть от температуры 
. Соответственно
Полное количество теплоты, полученное системой в произвольном процессе, можно рассчитать только интегрированием 
Вычисление теплоемкости и количества теплоты в различных процессах является внутренней подзадачей многих учебных задач, с которыми вы встретитесь при изучении термодинамики.
9.4. Тепловые машины и их эффективность.
Циклические процессы являются основой действия тепловых машин. В используемых на практике разнообразных тепловых машинах реализованы различные виды термодинамических циклов. Тепловыми машинами являются двигатели внутреннего сгорания, реактивные двигатели, холодильники, кондиционеры, тепловые насосы, паровые турбины и т. д.
На диаграмме процессов цикл изображается замкнутой кривой (рис. 9.3) с указанием направления перехода (по часовой стрелке или против часовой стрелки). Работа, совершаемая машиной за цикл равна площади, ограниченной этой кривой.
| Рис. 9.3. |
равна площади под кривой 1-2-3 на диаграмме (рис. 9.3). Работа сжатия 
- отрицательная, поскольку объём на участке 3-1 уменьшается. Величина определяется площадью под кривой 3-1. Рассчитывать работу таким образом целесообразно, если цикл представляет простую геометрическую фигуру: прямоугольник, треугольник, трапецию, окружность. Более общий подход основан на вычислении количества теплоты, поступающей в машину на отдельных участках цикла.
Действительно, проинтегрировав по циклу равенство, выражающее первое начало термодинамики, получим важный результат:
из которого следует, что работа равна количеству теплоты, полученной системой за цикл
Теплота в каких-то частях цикла поступает в систему ( (+)), а в каких-то частях уходит из системы 
. Обобщённо можно записать так
Определить поступает в систему количество теплоты или оно теряется иногда можно только расчётом, но зачастую это видно на графике процесса:
• Если температура растёт или (и) объём увеличивается, то в систему поступает количество теплоты 
.
• Если температура падает или (и) объём уменьшается, то система отдаёт количество теплоты 
окружающей среде.
Принципиальная схема работы тепловой машины
Схематически работа машин по прямому и обращенному циклу представлена на рис. 9.4 и 9.5. Любая машина должна включать в себя нагреватель с температурой (горячий термостат), холодильник с температурой 
(холодный термостат), а также рабочее вещество, или рабочее тело, заключённое в некотором техническом устройстве (цилиндр с поршнем, турбина и т. п.), имеющем силовой привод. Если циклический процесс, описывающий состояние рабочего вещества в машине, идет по часовой стрелке, то машина работает в режиме двигателя (рис. 9.4), если против часовой стрелки, то в режиме холодильника, кондиционера или теплового насоса (рис. 9.5). Последние три названия часто объединяют одним термином – холодильная машина.
Рис. 9.4. Рис. 9.5.
Принцип работы двигателя: в процессе работы машина получает количество теплоты от нагревателя, часть которого идёт на совершение полезной работы (приводится в действие какой-либо силовой агрегат), а часть отдаётся холодному резервуару.
Принцип работы холодильной машины: для того, чтобы отобрать количество теплоты от холодильника и передать его нагревателю, необходимо затратить некоторое количество энергии на совершение механической работы над рабочим веществом машины.
Показатели эффективности тепловых машин
Эффективность двигателя характеризуется коэффициентом полезного действия η (КПД). Эффективность холодильной машины – коэффициентом использования энергии ξ(КИЭ). На схеме 9.4.1 приведены формулы для вычисления КПД и КИЭ.
Схема 9.4.1.
| Коэффициент полезного действия тепловой машины |
|
|
| Коэффициент использования энергии холодильной машины |
Чтобы воспользоваться формулами 
– 
необходимо точно установить на каких участках цикла, совершаемого рабочим телом, количество теплоты, поступает в машину, а на каких участках цикла количество теплоты передается низкотемпературному резервуару.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите его уравнение в дифференциальной форме, поясните обозначения бесконечно малых величин. К каким процессам применим этот постулат?
2. Что называется вечным двигателем первого рода?
3. Как определяются теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении? Почему их называют функциями состояния?
4. Получите уравнение, связывающее теплоемкости и 
в общем случае.
5. Сделайте вывод уравнения Майера. Для каких систем это уравнение применимо?
6. Что называется политропическим процессом? Запишите уравнение политропы для параметров 
7. Как связан показатель политропы с теплоемкостью процесса?
8. Является ли адиабатный процесс политропическим процессом? Обоснуйте ответ.
9. Как выглядят графики политропических процессов? Приведите примеры.
10. Как можно определить работу, совершенную системой, через количество теплоты, полученное ею извне в политропическом процессе?
11. Нарисуйте принципиальные схемы тепловых машин, работающих как двигатель и как холодильная машина.
12. Дайте определения КПД и КИЭ. По каким формулам они вычисляются и как связаны между собой?
ЛЕКЦИЯ 10
ТЕОРЕМЫ КАРНО И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
10.1. Цикл Карно
В 1824 году французский физик и военный инженер Никола Леонар Сади Карно опубликовал свою работу «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», в которой им были сформулированы основные положения теории тепловых машин, содержащие по своей сути идею второго начала термодинамики.
В этом сочинении Карно ввёл в научный обиход множество понятий, использующихся в термодинамике и сейчас. Однако главной заслугой учёного стало выдвижение идей о необходимости перепада температур для создания циклически действующей тепловой машины и о том, что величина работы определяется только разностью температур нагревателя и холодильника и не зависит от природы рабочего вещества.
| Рис. 10.1. |
В идеальной машине Карно рабочее вещество (идеальный газ) совершает цикл, представленный на рис. 10.1, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Адиабата и изотерма слабо отличаются друг от друга, поэтому площадь внутри замкнутой кривой на диаграмме 
очень мала. Таким образом, характеристика цикла Карно по величине абсолютной работы не является хорошей, но с учётом затрат это самый эффективный цикл среди всех возможных циклов для получения работы.
Расчёт КПД машины Карно
Описание системы
Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат – цикл Карно, представленный на рис. 10.2.
Рис. 10.2.
Актуальная информация о системе и процессах
• Так как газ идеальный, то справедливо уравнение Клапейрона-Менделеева
• Изменение внутренней энергии идеального газа на изотерме равно нулю
• Уравнение адиабаты для идеального газа в параметрах , имеет вид
Постановка задачи
Рассчитать КПД тепловой машины Карно.
Решение задачи
• По определению КПД двигателя равен
• Количество теплоты, поступающее к рабочему телу от нагревателя на
участке 1-2 
равно
При записи (10.3) учтено, что изменение внутренней энергии идеального газа на изотерме не происходит.
• На участке 3-4 рабочее тело отдаёт количество теплоты холодильнику с температурой , равное
• На участках 2-3 и 4-1 рабочее тело изолируется от нагревателя и холодильника. Соответствующие квазистатические процессы идут без теплообмена
• Подставим в формулу (10.2) полученные значения и , тогда имеем
• Уравнение адиабатического процесса (10.1) позволяет существенно упростить это выражение. Действительно, для адиабаты 2 - 3 (рис. 10.2)
а для адиабаты 4 - 1 запишем
Если разделить уравнение (10.6) на уравнение (10.7), то получим
или
• Воспользовавшись этим результатом, из формулы (10.5) получим окончательный ответ
Из (10.9) видно, что чем ниже температура холодильника при фиксированной температуре нагревателя , тем выше КПД цикла Карно. В ряде учебников утверждается, что 
всегда меньше 1, потому, что не может быть равной 0 
, поскольку абсолютный нуль температур не достижим согласно третьему началу термодинамики. Такой аргумент следует признать неверным. Дело в том, что даже если бы 
, осуществить цикл Карно при этом условии было бы невозможно. Анализ показывает, что такой цикл или нельзя замкнуть, или он вырождается в совокупность двух совпадающих адиабат и изотерм [1]. Машина с КПД равным единице запрещена вторым началом термодинамики.
10.2. Теоремы Карно
Основные положения теории тепловых машин Сади Карно сформулировал в виде двух теорем, которые доказываются от противного [12]. Мы приведём лишь формулировки этих теорем и сфокусируем внимание на их приложениях (схема 10.2.1).
Схема 10.2.1.
| Формулировки |
| Первая теорема Карно |
| Вторая теорема Карно |
| КПД тепловой машины, работающей по произвольному циклу с фиксированной максимальной и минимальной температурой, не превосходит КПД машины, работающей по циклу Карно с соответствующими температурами нагревателя и холодильника. |
| КПД машин, работающих по циклу Карно, не зависит от рабочего вещества и конструктивных особенностей машины, а определяется только температурами нагревателя и холодильника. |
| Приложения |
| • Построение абсолютной термодинамической шкалы температур. • Разработка метода теоретической термодинамики – метода циклов. |
| • Вывод неравенства Клаузиуса. • Определение энтропии в термодинамике. • Оценка эффективности тепловых машин сверху. |
Далее мы подробно рассмотрим каждое из приложений этих двух теорем. Начнем с построения абсолютной термодинамической шкалы температур.
Термодинамическая шкала температур
Поскольку КПД не зависит от рабочего тела, то можно представить следующую процедуру построения шкалы температур.
• В качестве нагревателя машины Карно берется некоторое стандартное тело, например, вода, кипящая при атмосферном давлении.
• В качестве холодильника выбирается другое стандартное тело, например лед, тающий при атмосферном давлении.
• Разность температур и (сами температуры пока не известны) делится на сто частей, чем устанавливается размер градуса абсолютной термодинамической шкалы температур.
• Осуществляется обратимый цикл Карно с каким-либо телом.
• Измеряются и . Согласно (10.2) и (10.9)
Кроме того 
. Из этих двух уравнений определяем и . Если требуется измерить температуру произвольного тела, то это тело следует использовать в качестве нагревателя, сохранив прежний холодильник с температурой . Затем необходимо осуществить цикл Карно и измерить 
и 
. Тогда справедливо равенство
Отсюда находится искомая температура .
Построенная таким образом шкала температур Кельвина, как мы уже знаем, совпадает со шкалой газового термометра. Из уравнения (10.10) следует, что нулем температуры является температура, при которой равно нулю. Более строгое рассмотрение принципов построения рациональной термодинамической шкалы температур дано в [14].
10.3. Метод циклов
С помощью первой теоремы Карно можно получить много важных соотношений между физическими величинами в дифференциальной форме, характеризующими систему в состоянии термодинамического равновесия. Для этого надо заставить систему надлежащим образом осуществить цикл Карно и применить к нему теорему Карно. Этот метод называется методом циклов. Проясним его сущность на примере решения следующей задачи.
Задача о нахождении зависимости внутренней энергии 
макроскопического тела от его объема 
Рассмотрим произвольное физически однородное тело, состояние которого характеризуется двумя параметрами и . Будем считать, что
известно его термическое уравнение состояния 
Для того, чтобы в соответствии с методом циклов получить зависимость энергии от объема в дифференциальной форме, необходимо осуществить бесконечно малый цикл Карно над рассматриваемым телом таким образом, чтобы температуры изотерм отличались на 
. Изобразим подобный цикл на рис. 10.3. Как видно, верхняя изотерма имеет температуру , а нижняя 
.
Запишем КПД цикла Карно с одной стороны через температуры, а с другой – через полученное телом количество теплоты и совершенную им работу
Работа , произведенная телом в результате цикла 1234, численно равна заштрихованной площади параллелограмма 1234. Чтобы вычислить ее, проведем прямые 1-6и 2-5, параллельные оси давлений. Ясно, что искомая площадь равна площади параллелограмма 1256.
Высота этого параллелограмма численно равна приращению
– объема при изотермическом процессе 1-2.
Рис. 10.3.
Основание же 6-1дает приращение давления при повышении температуры на , когда объем системы поддерживается постоянным. Поэтому
Для работы цикла, которая численно равна его площади, получаем
Вычислим теперь количество теплоты 
отданное нагревателем телу на изотерме 1-2. Пренебрегая изменениями давления на участке 1-2, запишем согласно первому началу
Так как на изотерме 1-2температура постоянна, то
Подставив (10.14) в (10.13), получим
Теперь вернемся к (10.11). Выразим числитель и знаменатель правой части этого уравнения согласно (10.12) и (10.15). Тогда получим
Из (10.16) легко выразить частную производную. В итоге получаем искомое решение
Подобным образом можно найти зависимость давления насыщенного пара от температуры или закон изменения поверхностного натяжения с температурой и множество других закономерностей.
10.4. Неравенство Клаузиуса. Определение энтропии
На основе второй теоремы Карно можно получить неравенство, связывающее приведённую теплоту нагревателя 
и приведённую теплоту холодильника 
для цикла Карно. Воспользуемся математической записью второй теоремы Карно
где 
– КПД произвольного цикла с фиксированными температурами и .
Запишем это неравенство более детально
или, что, то же самое
Знак минус в этом неравенстве показывает, что и имеют разные знаки. Приведём окончательную форму соотношения (10.18), которую называют неравенством Клаузиуса для цикла Карно
Отметим, что знак равенства относится к равновесному циклу Карно, а знак неравенства к неравновесному (необратимому).
Неравенство Клаузиуса можно обобщить для произвольного цикла [12]. Оно имеет следующий вид
здесь под , следует понимать температуру самой системы. Для обратимых процессов в (10.20) справедлив только знак равенства, а для необратимых – знак неравенства.
Запишем (10.20) для произвольного обратимого цикла
Из этого следует (см. 8.1), что бесконечно малая величина под интегралом в (10.21) является полным дифференциалом некоторой функции состояния. Обозначим её буквой 
. Эта термодинамическая функция называется энтропией
Равенство (10.22) определяет энтропию для обратимых процессов. Дальнейшему обсуждению этой важной термодинамической величины будет посвящена следующая лекция. Кроме того, свойства энтропии в окрестности абсолютного нуля температур мы рассмотрим при изучении третьего начала термодинамики.
10.5. Оценка эффективности тепловых машин сверху
В повседневной жизни мы постоянно используем различные виды тепловых машин. Наземные транспортные средства невозможно представить без бензинового двигателя внутреннего сгорания или дизельного мотора. На тепловых электростанциях работают паровые турбины. В небо нас уносят турбореактивные самолеты. В основе работы этих и многих других машин лежат различные циклические процессы и в них применяются разные рабочие вещества. У вас будет возможность научиться рассчитывать КПД и КИЭ на основе рассмотрения конкретных циклов Отто, Дизеля, Брайтона и других. Возникает вопрос, можно ли рассчитать показатели эффективности машины, не вдаваясь в детали ее работы. Оказывается можно, но, разумеется, приближенно. Вторая теорема Карно позволяет сделать оценки эффективности реальных машин сверху. Для этого нужно знать только максимальную температуру цикла машины 
и его минимальную температуру 
.
Полагая, что
,
будем рассчитывать КПД и КИЭ реальных машин по формулам цикла Карно. Эти формулы приведены на схеме 10.5.1.
Схема 10.5.1.
Эффективность идеальной машины Карно
Коэффициент использования
энергии
Коэффициент полезного действия
Тепловой насос
Холодильник, кондиционер
Двигатель
Примеры оценок эффективности тепловых машин сверху
КПД бензинового двигателя внутреннего сгорания
= 2427°C +273 = 2700 – температура воздушно-бензиновой смеси в момент ее воспламенения от искры свечи зажигания;
= 27°C+273 = 300 – температура наружного воздуха.
КПД реального теплового двигателя, работающего по циклу Отто, не превосходит 0,56.
Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 17784;