Задача Дирихле

Пусть - область, .

На границе задана функция .

Требуется найти гармоническую функцию : в .

Для граничных значений имеем .

Утв. Для ограниченной области задача Дирихле имеет единственное решение.

Единственность: Пусть , - два решения

в точке , то минимум (максимум) достигается внутри области.

Принцип экстремума

Существование: - единичный круг.

Решение можно получить по формуле Пуассона.

Предположим, что задача Дирихле имеет решение,

, в , .

Найдем сопряженную гармоническую .

- аналитична в .

Напишем формулу Коши:

,

Возьмем

Вычтем